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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : 3次元

ラプラシアン極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は計量テンソルを使って3次元のラプラシアン極座標表示を求めてみます。

3次元の極座標は以下のように定められていました:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x = r\sin\theta\cos\varphi \\
        y = r\sin\theta\sin\varphi \\
        z = r\cos\theta
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta \le \pi \\
        0 \le \varphi \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

また、後のために位置ベクトル { \textbf{r} } と変位ベクトル { d\textbf{r} } を以下のように決めます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{r}
        &= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix}  r\sin\theta\cos\varphi \\ r\sin\theta\sin\varphi \\ r\cos\theta \end{pmatrix} &
            d\textbf{r} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}
\end{align*}}

位置ベクトルを微分すれば変位ベクトルが得られ、変位ベクトル(の2乗)から計量テンソルを求められます。 変位ベクトルを普通に計算してもいいんですが結構面倒なので、まず極座標の基底を導入します。

極座標の基底

3次元極座標の基底を以下のように取りましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \textbf{e}_r &= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta\end{pmatrix} &
    \textbf{e}_\theta &= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi \\ \cos\theta\sin\varphi \\ -\sin\theta \end{pmatrix} &
    \textbf{e}_\varphi &= \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix}
\end{align*}}

これらは正規直交基底をなします。 つまり、それぞれの基底ベクトルは長さが1で、互いに直交しています:

  { \displaystyle\begin{align*}
     \textbf{e}_i \cdot \textbf{e}_j &= \delta_{ij} & (i,\,j = r,\,\theta,\,\varphi)
\end{align*}}

このとき、上記で定めた位置ベクトルの、極座標による微分は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial r} &= {\bf e}_r &
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} &= r{\bf e}_\theta &
    \frac{\partial {\bf r}}{\partial \varphi} &= r\sin\theta\,{\bf e}_\varphi
\end{align*}}

計量テンソル

極座標の計量テンソルを求めるために、まず変位ベクトルを極座標で表しましょう:

  { \displaystyle\begin{align*}
    d{\bf r}
        &= \frac{\partial {\bf r}}{\partial r}dr
            + \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta}d\theta
            + \frac{\partial {\bf r}}{\partial \varphi}d\varphi \\
        &= {\bf e}_r dr + r{\bf e}_\theta d\theta + r\sin\theta\,{\bf e}_\varphi d\varphi
\end{align*}}

これを用いて変異ベクトルの2乗 { d\textbf{r}^2 } を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    d{\bf r}^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\varphi^2
\end{align*}}

となります。 よって計量テンソル { g_{ij} } は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    g_{ij}
        &= \begin{pmatrix}
            1 & 0 & 0 \\
            0 & r^2 & 0 \\
            0 & 0 & r^2\sin^2\theta
       \end{pmatrix} &
        (i,\,j = r,\,\theta,\,\varphi)
\end{align*}}

ヤコビアンの計算

以上の結果を用いてヤコビアン極座標表示を計算しましょう。 前回の最初に書き下した公式より、3次元のラプラシアン

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_3
    &= \frac{1}{\rho_r\rho_\theta\rho_\varphi}\left\{
            \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\rho_\theta\rho_\varphi}{\rho_r}\frac{\partial}{\partial r}\right)
            + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\rho_r\rho_\varphi}{\rho_\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
            + \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\frac{\rho_r\rho_\theta}{\rho_\varphi}\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)
        \right\}
\end{align*}}

で与えられます。 ここで各 { \rho } の表式は、上記の結果より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \rho_r &= 1 & \rho_\theta &= r & \rho_\varphi &= r\sin\theta & \left(\sqrt{g} = \rho_r\rho_\theta\rho_\varphi = r^2\sin\theta\right)
\end{align*}}

となるので、これをラプラシアンの表式に入れて計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle_3 &= \frac{1}{r^2\sin\theta}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}\right)
        + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
        + \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)\right\} \\[2mm]
     &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)
         + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
         + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{align*}}

となり、以前の結果が得られました。

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)