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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ラプラシアンの極座標表示 : 2次元

数学 2次元 極座標 目次

これから何回かにわたって、ラプラシアン (Laplacian)

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle = \nabla^2 = \sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}
\end{align*}}

極座標表示を地道に泥臭く計算していきます。

今回は2次元の場合

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
\end{align*}}

2次元のラプラシアン極座標表示

2次元の極座標

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x = r\cos\theta \\
        y = r\sin\theta
    \end{cases}
    \quad
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

と定義されてますが(こちらを参照)、今回はこれを逆に解いて、動径 { r }偏角 { \theta } を 直交座標の { x,\,y } で表した以下の表式を用います:

  { \displaystyle\begin{align*}
    r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}
\end{align*}}

直交座標の微分極座標とその微分で表す
まずは直交座標 { x,\,y } による微分を、極座標 { r,\,\theta } とその微分で表しましょう。 { x } 微分{ y } 微分もほとんど同じ計算なので、{ x } 微分の方を少々丁寧に計算します。 連鎖律 (chain rule) より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{\partial}{\partial x}
    = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r}
      + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

が成り立つので { r }{ \theta }{ x } 微分を計算しましょう。 まずは動径 { r }{ x }微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial r}{\partial x}
        &= \frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2 + y^2} \\
        &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \\
        &= \frac{x}{r} \\
        &= \cos\theta
\end{align*}}

まぁ、なんてことないですね。 次は { \theta }{ x } 微分。 { \tan \theta } の以下の表式

  { \displaystyle\begin{align*}
    \tan\theta = \frac{y}{x}
\end{align*}}

の両辺を { x }微分すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{\cos^2 \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} = -\frac{\sin\theta}{r\cos^2\theta}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r}
\end{align*}}

得られた結果をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

となり、{ x } 微分極座標とその微分で表せました。 { y } 座標に対しても、同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta \qquad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial}{\partial y} = \sin\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

を得ます。 結果をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \nabla
     = \begin{pmatrix}
        \dfrac{\partial}{\partial x} \\[4mm]
        \dfrac{\partial}{\partial y}
    \end{pmatrix}
    &= \begin{pmatrix}
        \cos\theta \dfrac{\partial}{\partial r} - \dfrac{\sin\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \\[4mm]
        \sin\theta \dfrac{\partial}{\partial r} + \dfrac{\cos\theta}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta}
    \end{pmatrix} \\[4mm]
    &= \begin{pmatrix}
        \cos\theta & - \dfrac{\sin\theta}{r} \\[4mm]
        \sin\theta & \dfrac{\cos\theta}{r}
    \end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
        \dfrac{\partial}{\partial r} \\[4mm]
        \dfrac{\partial}{\partial \theta}
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

ラプラシアン極座標とその微分で表す
では、上記の結果を用いてラプラシアン極座標とその微分で表します。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial^2}{\partial x^2}
        &= \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) \\
        &= \cos\theta \frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial}{\partial r}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
        &= \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r^2}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}
            + \frac{\sin\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta} \\[2mm]
    \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)
        &= \cos\theta\frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta}
            - \frac{\sin\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
            -\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{\cos\theta}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial^2}{\partial x^2}
        &= \cos^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2}
            - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}
            + \frac{\sin^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\
        &\qquad\qquad+\frac{\sin^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

となります。 同様にして

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial^2}{\partial y^2}
        &= \sin^2\theta \frac{\partial^2}{\partial r^2}
            + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}\frac{\partial^2}{\partial r\partial\theta}
            + \frac{\cos^2\theta}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\
        &\qquad\qquad+\frac{\cos^2\theta}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}\frac{\partial}{\partial \theta}
\end{align*}}

結果を合わせると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
        &= \frac{\partial^2}{\partial r^2}
            + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\
        &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)
            +\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
\end{align*}}

解析入門 (1)

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