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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜 : n次元

数学 極座標 高次元

ラプラシアン極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 今回は、計量テンソルを使ってラプラシアン極座標表示を求める方法をn次元に適用します。

極座標

n次元の極座標は以下のように定義されてました:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 &= r \cos\theta_1 \\
        x_2 &= r \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\
        x_3  &= r\sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\
        &\vdots \\
        x_{n-1} &= r \sin\theta_1 \cdots \sin\theta_{n-2} \cos \theta_{n-1} \\
        x_n &= r \sin\theta_1 \cdots \sin\theta_{n-2} \sin \theta_{n-1}
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta_i \le \pi \\
        0 \le \theta_{n-1} \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}


計量テンソル

計量テンソルの計算方法は4次元の場合までと同じなので、結果だけ書きます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    g_{ij} &= \rho_i^2\delta_{ij} & \left(i,\,j = r,\,1,\,2,\,\cdots,\,n-1\right)
\end{align*}}

ここで

  { \displaystyle\begin{align*}
    \rho_r &= 1, &
    \rho_1 &= r, &
    \rho_i &= r\prod_{\ell = 1}^{i-1}\sin\theta_\ell & \left(2 \le i \le n-1\right)
\end{align*}}

また、これらの { \rho } より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sqrt{g} = \prod_\ell \rho_\ell = r^{n-1}\prod_{\ell = 1}^{n-1}\left(\sin\theta_\ell\right)^{n-\ell-1}
\end{align*}}

も得られます。

ラプラシアン

上記の { \rho }以前に得たラプラシアンの表式に代入すれば結果は得られますが、ここでは少し丁寧に計算しましょう。 そのために以下のように変数 { \omega_i } を導入します(逆に複雑に感じたなら御免なさい):

  { \displaystyle\begin{align*}
    \omega_i &= \left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1} & \left(1\le i \le n-1\right)
\end{align*}}

{ \omega_i }{ \theta_i } にしか依存しません。 また、この { \omega_i } を用いて、{ \sqrt{g} } は以下のように表されます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \sqrt{g} = r^{n-1}\prod_{\ell = 1}^{n-1}\omega_\ell
\end{align*}}

さて、以上を踏まえてラプラシアン極座標表示を計算しましょう。 計算には、以下の表式({ \sqrt{g} } を入れた表式)を使います:

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_n
    &= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial x^i}
      \left\{\frac{\sqrt{g}}{\rho_i^2}\frac{\partial}{\partial x^i}\right\}
\end{align*}}

一気に全ての(和の)項を計算すると式が長くなるので、いくつかに分けて計算していきましょう。

{ r } の項

まずは { i = r } の項。 この項はまぁ、特に問題ないかと。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\sqrt{g}}{\rho_r^2}\frac{\partial}{\partial r}\right)
    &= \frac{1}{r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell}\frac{\partial}{\partial r}
      \left(r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell\frac{\partial}{\partial r}\right) \\
    &= \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r}\right)
\end{align*}}


{ \theta_1 } の項
次は { i = 1 } の項。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
      \left(\frac{\sqrt{g}}{\rho_1^2}\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right)
    &= \frac{1}{r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
      \left(\frac{r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell}{\rho_1^2}\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \\
    &= \frac{1}{\rho_1^2\omega_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
      \left(\omega_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \\
    &= \frac{1}{\rho_1^2\left(\sin\theta_1\right)^{n-2}}\frac{\partial}{\partial \theta_1}
      \left\{\left(\sin\theta_1\right)^{n-2}\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right\}
\end{align*}}

{ \sqrt{g} } からくる { \omega_1 } 以外の項は約分されます。 また、{ \rho_1 = r } より { \rho_1 }{ \theta_1 } 微分の外に出すことができます。

{ \theta_i } の項
次は { i \ne 1 } の項。 計算は { \theta_1 } の場合と同じです(別に分けてやる必要もないんですが)。

  { \displaystyle\begin{align*}
  \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\left(\frac{\sqrt{g}}{\rho_i^2}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\right)
    &= \frac{1}{r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell}\frac{\partial}{\partial \theta_i}
       \left(\frac{r^{n-1}\prod_\ell \omega_\ell}{\rho_i^2}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\right) \\
    &= \frac{1}{\rho_i^2\omega_i}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\left(\omega_i\frac{\partial}{\partial \theta_i}\right) \\
    &= \frac{1}{\rho_i^2\left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1}}\frac{\partial}{\partial \theta_i}
      \left\{\left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\right\}
\end{align*}}

今度は { \sqrt{g} } からくる { \omega_i } 以外の項が約分されます。 また、{ \rho_i } は定義より { \theta_i } に依存しないので、{ \theta_i } 微分の外に出すことができます。

まとめ
以上の結果をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
  \triangle_n
    &= \frac{1}{r^{n-1}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r}\right) \\[2mm]
    & \quad + \sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\rho_i^2\left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1}}\frac{\partial}{\partial \theta_i}
      \left\{\left(\sin\theta_i\right)^{n-i-1}\frac{\partial}{\partial \theta_i}\right\}
\end{align*}}

ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
    \rho_i
        = \begin{cases}
            r & (i = 1) \\[2mm]
           \displaystyle{ r \prod_{\ell=1}^{i-1}\sin\theta_\ell} & (i\ge 2)
        \end{cases}
\end{align*}}

となり、以前の結果が得られました。 思ったより手間取りましたが、計量使わずに計算するのに比べればはるかに簡単に出せました。