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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ラプラシアンの極座標表示 : 3次元 再考

数学 3次元 極座標

ラプラシアン極座標表示を求めるシリーズ(目次)。 前回行った方法を3次元に適用してみます。

極座標の基底

3次元での極座標の正規直交基底はこうとります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    {\bf e}_r
        &= \begin{pmatrix}
            \sin\theta\cos\varphi \\
            \sin\theta\sin\varphi \\
            \cos\theta
        \end{pmatrix} &
    {\bf e}_\theta
        &= \begin{pmatrix}
            \cos\theta\cos\varphi \\
            \cos\theta\sin\varphi \\
            -\sin\theta
        \end{pmatrix} &
    {\bf e}_\varphi
        &= \begin{pmatrix}
            -\sin\varphi \\
            \cos\varphi \\
            0
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

これらの基底の(極座標での)微分を計算すると以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial r} &= {\bf 0} &
    \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial r} &= {\bf 0} &
    \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial r} &= {\bf 0} \\
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta} &= {\bf e}_\theta &
    \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial \theta} &= -{\bf e}_r &
    \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial \theta} &= {\bf 0} \\
    \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \varphi} &= {\bf e}_\varphi\sin\theta &
    \frac{\partial {\bf e}_\theta}{\partial \varphi} &= {\bf e}_\varphi\cos\theta &
    \frac{\partial {\bf e}_\varphi}{\partial \varphi} &= - {\bf e}_r\sin\theta - {\bf e}_\theta\cos\theta
\end{align*}}

微分演算子

以前導いた結果より(微分演算子の行列表示)、∇を極座標と上で導入した極座標の正規直交基底を使うと

  { \displaystyle\begin{align*}
    \nabla = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}
        + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}
        + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}
\end{align*}}

と表すことができます。 この演算子の2乗(内積)がラプラシアン { \triangle } になるので、それを以下で計算しましょう。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla
        + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\cdot\nabla
        + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\cdot\nabla
\end{align*}}

{ r } 微分の項
{ r } 微分は2次元の場合とあまり変わりません(結果は同じ):

  { \displaystyle\begin{align*}
    {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial r^2}
\end{align*}}

{ \theta } 微分の項
{ \theta } 微分の計算も同様:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\cdot\nabla
        = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
        + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
\end{align*}}

こちらも結果は同じになります。 何次元でも同じなのかな?

{ \varphi } 微分の項
{ \varphi } 微分の計算はちょっとまじめにやりましょう。 まずは { \nabla }{ \varphi }微分

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{\partial}{\partial \varphi}\nabla
        &= \frac{\partial}{\partial \varphi}\left({\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}
            + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \\
        &= {\bf e}_\varphi\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}
            + {\bf e}_r\frac{\partial^2}{\partial r \partial \varphi} \\
        &\qquad+ \frac{1}{r}{\bf e}_\varphi\cos\theta\frac{\partial}{\partial \theta}
            + \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial^2}{\partial \theta \partial \varphi} \\
        &\qquad\qquad - \frac{1}{r\sin\theta}\left({\bf e}_r\sin\theta
            + {\bf e}_\theta\cos\theta\right)\frac{\partial}{\partial \varphi}
            + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{align*}}

よって

  { \displaystyle\begin{align*}
    \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_\varphi\frac{\partial}{\partial \varphi}\cdot\nabla
        &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
            + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{align*}}

ラプラシアン
以上をまとめると

  { \displaystyle\begin{align*}
    \triangle
        &= \frac{\partial^2}{\partial r^2}
            + \frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
            + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}
            + \frac{\cos\theta}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
            + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}
\end{align*}}

となり、以前の結果を導出完了。 これなら高次元へ拡張できそう。