ラプラシアンの極座標表示： 4次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ（目次）。　前々回、前回で行った方法を使って、4次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。

4次元極座標

4次元の極座標は以下のようにとるのでした（こちら参照）：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = r\cos\theta_1 \\ x _2 = r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\ x_3 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\ x_4 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3 \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta_1 \le \pi \\ 0 \le \theta_2 \le \pi \\ 0 \le \theta_3 \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

極座標の基底

4次元での極座標の正規直交基底は以下のようにとります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {\bf e}_r &= \begin{pmatrix} \cos\theta_1 \\ \sin\theta_1 \cos\theta_2 \\ \sin\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\ \sin\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 \end{pmatrix} & {\bf e}_1 &= \begin{pmatrix} -\sin\theta_1 \\ \cos\theta_1 \cos\theta_2 \\ \cos\theta_1 \sin\theta_2 \cos\theta_3 \\ \cos\theta_1 \sin\theta_2 \sin\theta_3 \end{pmatrix} \\[4mm] {\bf e}_2 &= \begin{pmatrix} 0 \\ -\sin\theta_2 \\ \cos\theta_2 \cos\theta_3 \\ \cos\theta_2\sin\theta_3 \end{pmatrix} & {\bf e}_3 &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\sin\theta_3 \\ \cos\theta_3 \end{pmatrix} \end{align*}}$

これらの基底の（極座標での）微分を計算すると以下のようになります：
${ r }$ 微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial r} =\frac{\partial {\bf e}_1}{\partial r} =\frac{\partial {\bf e}_2}{\partial r} =\frac{\partial {\bf e}_3}{\partial r} = {\bf 0} \end{align*}}$

${ \theta_1 }$ 微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_1} &= {\bf e}_1 & \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_1} &= -{\bf e}_r & \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_1} &= \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_1} = {\bf 0} \end{align*}}$

${ \theta_2 }$ 微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_2} &= {\bf e}_2\sin\theta_1 \\ \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_2} &= {\bf e}_2\cos\theta_1 \\ \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_2} &= - {\bf e}_r\sin\theta_2 - {\bf e}_1\cos\theta_2 \\ \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_2} &= {\bf 0} \end{align*}}$

${ \theta_3 }$ 微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf e}_r}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\sin\theta_1\sin\theta_2 \\ \frac{\partial {\bf e}_1}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\cos\theta_1\sin\theta_2 \\ \frac{\partial {\bf e}_2}{\partial \theta_3} &= {\bf e}_3\cos\theta_2 \\ \frac{\partial {\bf e}_3}{\partial \theta_3} &= - {\bf e}_r\sin\theta_1\sin\theta_2 - {\bf e}_1\cos\theta_1\sin\theta_2 - {\bf e}_2\cos\theta_2 \end{align*}}$

微分 演算子

∇を頑張って計算して、極座標と上で導入した極座標の正規直交基底を使って表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \nabla = {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}{\bf e}_1\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \frac{1}{r\sin\theta_1}{\bf e}_2\frac{\partial}{\partial \theta_2} + \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3} \end{align*}}$

となります。　最初の3項は3次元の場合と同じになりますね（基底ベクトルは異なりますが）。　この演算子 ${ \nabla }$ を使ってラプラシアン ${ \triangle }$ を計算しましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle &= {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla + \frac{1}{r}{\bf e}_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\cdot\nabla + \frac{1}{r\sin\theta}{\bf e}_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\cdot\nabla \\ & \qquad + \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla \end{align*}}$

各項それぞれに分けて、微分と内積を計算します：

第1項

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} {\bf e}_r\frac{\partial}{\partial r}\cdot\nabla = \frac{\partial^2}{\partial r^2} \end{align*}}$

第2項

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{r}{\bf e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta_1}\cdot\nabla = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_1^2} \end{align*}}$

第3項

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{r\sin\theta_1}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1} + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial^2}{\partial \theta_2^2} \end{align*}}$

第4項

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{r\sin\theta_1\sin\theta_2}{\bf e}_3\frac{\partial}{\partial \theta_3}\cdot\nabla &= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1} \\ & \qquad + \frac{\cos\theta_2}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_2}\\ & \qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2} \end{align*}}$

ラプラシアン

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{3}{r}\frac{\partial}{\partial r} \\ &\qquad + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_1^2} + \frac{2\cos\theta_1}{r^2\sin\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1} \\ &\qquad\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial^2}{\partial \theta_2^2} + \frac{\cos\theta_2}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2}\frac{\partial}{\partial \theta_2} \\ &\qquad\qquad\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2} \end{align*}}$

これは次のように変形できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle &= \frac{1}{r^3}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^3\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1}\frac{\partial}{\partial \theta_1}\left(\sin^2\theta_1\frac{\partial}{\partial \theta_1}\right) \\ &\qquad + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin\theta_2} \frac{\partial}{\partial \theta_2} \left(\sin\theta_2\frac{\partial}{\partial \theta_2}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta_1\sin^2\theta_2}\frac{\partial^2}{\partial \theta_3^2} \end{align*}}$