倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 4次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は4次元。

4次元極座標

4次元の極座標は次のように定義されています:

  { \displaystyle\begin{align*}
    &\begin{cases}
        x_1 = r\cos\theta_1 \\
        x _2 = r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
        x_3 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
        x_4 = r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
    \end{cases} &
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        0 \le \theta_1 \le \pi \\
        0 \le \theta_2 \le \pi \\
        0 \le \theta_3 \le 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

4次元極座標の体積要素

ヤコビアン前回までの方法で計算するのは結構大変なので、(本質的には同じだけど)もう少し簡単な方法で計算しましょう。

ヤコビアンの計算方法
位置ベクトル

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mathbf{x}
        = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix}
        = \begin{pmatrix}
            r\cos\theta_1 \\
            r\sin\theta_1\cos\theta_2 \\
            r\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
            r\sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

に対して

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mathbf{e}_r &= \frac{\partial}{\partial r}\mathbf{x}, &
    \mathbf{e}_1 &= \frac{\partial}{\partial \theta_1}\mathbf{x}, &
    \mathbf{e}_2 &= \frac{\partial}{\partial \theta_2}\mathbf{x}, &
    \mathbf{e}_3 &= \frac{\partial}{\partial \theta_3}\mathbf{x}
\end{align*}}

とおくと、

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mathbf{e}_r
        &= \begin{pmatrix}
            \cos\theta_1 \\
            \sin\theta_1\cos\theta_2 \\
            \sin\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
            \sin\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
        \end{pmatrix}, &
    \mathbf{e}_1
        &= r\begin{pmatrix}
            -\sin\theta_1 \\
            \cos\theta_1\cos\theta_2 \\
            \cos\theta_1\sin\theta_2\cos\theta_3 \\
            \cos\theta_1\sin\theta_2\sin\theta_3
        \end{pmatrix} \\
    \mathbf{e}_2
        &= r\sin\theta_1
        \begin{pmatrix} 0 \\
            -\sin\theta_2 \\
            \cos\theta_2\cos\theta_3 \\
            \cos\theta_2\sin\theta_3
        \end{pmatrix}, &
    \mathbf{e}_4
        &= r\sin\theta_1\sin\theta_2
        \begin{pmatrix}
            0 \\
            0 \\
            -\sin\theta_3 \\
            \quad\cos\theta_3
        \end{pmatrix}
\end{align*}}

となり、これらは

  { \displaystyle\begin{align*}
    \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_1 &= 0, &
    \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_2 &= 0, &
    \mathbf{e}_r\cdot\mathbf{e}_3 &= 0 \\
    && \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2 &= 0, &
    \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_3 &= 0 \\
    &&&& \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3 &= 0
\end{align*}}

を満たす、つまりこれらは直交系をなします。 このとき、ヤコビアンはこれらのベクトルを用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left|\frac{\partial (x_1, x_2, x_3, x_4)}{\partial (r, \theta_1, \theta_2, \theta_3)}\right|
        = |\mathbf{e}_r||\mathbf{e}_1||\mathbf{e}_2||\mathbf{e}_3|
\end{align*}}

と計算できます(大雑把に言えば、これらのベクトルが作る「4次元直方体」の体積)。

ヤコビアン

  { \displaystyle\begin{align*}
    |\mathbf{e}_r| &= 1, &
    |\mathbf{e}_1| &= r, &
    |\mathbf{e}_2| &= r\sin\theta_1, &
    |\mathbf{e}_3| &= r\sin\theta_1\sin\theta_2
\end{align*}}

より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \left|\frac{\partial (x_1, x_2, x_3, x_4)}{\partial (r, \theta_1, \theta_2, \theta_3)}\right|
        = r^3\sin^2\theta_1\sin\theta_2
\end{align*}}

となります。

体積要素
  { \displaystyle\begin{align*}
    dx_1dx_2dx_3dx_4 = r^3 \sin^2\theta_1 \sin\theta_2\,dr d\theta_1 d\theta_2 d\theta_3
\end{align*}}

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)

微分積分・平面曲線 (岩波 数学公式 1)