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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

極座標のヤコビ行列とヤコビアン : 3次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ(目次)。 今回は3次元の極座標。 計算の流れは前回と同じです。

3次元極座標

3次元の極座標は次のように定義されています:

  { \displaystyle \begin{align*}
  &\begin{cases}
      x = r\sin\theta\cos\varphi \\
      y = r\sin\theta\sin\varphi \\
      z = r\cos\theta
  \end{cases} &
  \begin{pmatrix}
      0 \le r < \infty \\
      0 \le \theta \le \pi \\
      0 \le \varphi \le 2\pi
  \end{pmatrix}
\end{align*}}

3次元極座標の体積要素

ヤコビ行列

  { \displaystyle \begin{align*}
  \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi)}
    = \left(\begin{array}{llc}
          \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\
          \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\
          \cos\theta & -r\sin\theta & 0
      \end{array}\right)
\end{align*}}


ヤコビアン
ヤコビアンの計算は第3行(下線部)に関して展開して計算しましょう:

  { \displaystyle \begin{align*}
  \begin{vmatrix}
      \dfrac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi)}
  \end{vmatrix}
  &= \left|\begin{array}{llc}
      \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\
      \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\
      \underline{\cos\theta} & \underline{-r\sin\theta} & \underline{0} \end{array}\right| \\[2mm]
  &= \cos\theta
      \begin{vmatrix}
          r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\
          r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi
      \end{vmatrix}
      + r\sin\theta
      \begin{vmatrix}
          \sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\
          \sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi
    \end{vmatrix} \\[2mm]
  &= r^2\sin\theta\cos^2\theta
      \begin{vmatrix}
          \cos\varphi & -\sin\varphi \\
          \sin\varphi &\cos\varphi 
      \end{vmatrix}
      + r^2\sin^3\theta
      \begin{vmatrix}
          \cos\varphi & -\sin\varphi \\
          \sin\varphi & \cos\varphi
      \end{vmatrix} \\[2mm]
  &= r^2\sin\theta\cos^2\theta + r^2\sin^3\theta \\
  &= r^2\sin\theta
\end{align*}}

体積要素の変換公式
以上の結果より、3次元極座標の体積要素は以下のようになります:

  { \displaystyle \begin{align*}
  dxdydz = r^2\sin\theta\; drd\theta d\varphi
\end{align*}}