極座標のヤコビ行列とヤコビアン： 3次元

いろいろな次元で極座標のヤコビ行列とヤコビアンを求めるシリーズ（目次）。　今回は3次元の極座標。　計算の流れは前回と同じです。

3次元極座標

3次元の極座標は次のように定義されています：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

3次元極座標の体積要素

ヤコビ行列

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi)} = \left(\begin{array}{llc} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right) \end{align*}}$

ヤコビアン

ヤコビアンの計算は第3行（下線部）に関して展開して計算しましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{vmatrix} \dfrac{\partial (x, y, z)}{\partial (r, \theta, \varphi)} \end{vmatrix} &= \left|\begin{array}{llc} \sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \\ \underline{\cos\theta} & \underline{-r\sin\theta} & \underline{0} \end{array}\right| \\[2mm] &= \cos\theta \begin{vmatrix} r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ r\cos\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix} + r\sin\theta \begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix} \\[2mm] &= r^2\sin\theta\cos^2\theta \begin{vmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi &\cos\varphi \end{vmatrix} + r^2\sin^3\theta \begin{vmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{vmatrix} \\[2mm] &= r^2\sin\theta\cos^2\theta + r^2\sin^3\theta \\ &= r^2\sin\theta \end{align*}}$