n次元単位球面上・単位球体内の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ（目次）& 倭式極座標を見ていくシリーズ（目次）。　前回列挙した、一般次元での単位球体内・球面上の一様分布を任意の次元に拡張してみます。

球面上の一様分布は帰納的な定義（2次元低い一様分布を使って定義）しており、球体内の一様分布は1次元低い球面上の一様分布の式を用いて定義しています：

単位球面上の一様分布
- 【基底部】1次元球面（円周）、2次元球面（球面）上の一様分布
- 【再帰部】n 次元球面上の一様分布 ( ${ n \ge 3}$ ) ・・・ (n-2)次元球面上の一様分布を使って定義
単位球体内の一様分布
- n 次元球体内の一様分布 ( ${ n \ge 2 }$ ) ・・・ (n-1) 次元球面上の一様分布を使って定義

前回は単位球体内の一様分布から ${ R=1 }$ とおいて単位球面上の一様分布を導出しましたが、ここでは単位球面上の一様分布を先に定義しています。　以下では、変数 ${ X \in [a,\,b] }$ に対して、 ${ \tilde{X} }$ を区間 ${ [a,\,b] }$ 間に一様分布する変数とします。

1, 2次元球面上の一様分布

単位球面上の一様分布を再帰的に定義するために、まずは基底部（再帰を止める部分）の定義から。　再帰的な定義は n 次元単位球面上の一様分布を (n-2) 次元のもので定義するので、基底部は1, 2次元の2つが必要。　1次元球面（円周）上の一様分布は簡単。　ただし、倭式極座標に合わせた形にしてます（前回参照）：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_2 = \cos\tilde{\varphi}_1 \end{cases} & (0 \le \varphi_1 < 2\pi) \end{align*}}$

2次元球面（通常の球面）上の一様分布も倭式極座標に合わせて書いて、以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \tilde{\Psi} \\ x_2 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_3 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}_1 \end{cases} & \begin{pmatrix} -1 \le \Psi \le 1 \\ 0 \le \varphi_1 < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

n 次元球面上の一様分布 ${ x_i \,(n \ge 3) }$

次は本丸の再帰部の定義。　n 次元球面上の一様分布は、n-2 次元球面上の一様分布を用いて定義します。　この定義は倭式極座標の再帰定義から来ています（偶数次元、奇数次元の倭式極座標の定義を参照）。　 ${ y_i\,(1 \le i \le n-1) }$ が (n-2) 次元球面上の一様分布として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_i &= y_i (\tilde{\Theta}_m)^{\frac{1}{n-1}} \\ x_n &= \sqrt{1-(\tilde{\Theta}_m)^{\frac{2}{n-1}}} \sin\tilde{\varphi}_{m+1} \\ x_{n+1} &= \sqrt{1-(\tilde{\Theta}_m)^{\frac{2}{n-1}}} \cos\tilde{\varphi}_{m+1} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le \Theta_m \le 1 \\ 0 \le \varphi_{m+1} < 2\pi \end{pmatrix} \\[4mm] &\textrm{where} \quad m = [\tfrac{n-1}{2}] \end{align*}}$

ここで ${ [\cdots] }$ はガウス記号で、 ${ [x] }$ は ${ x }$ を超えない最大の整数を表します。　ただし、これは偶数次元と奇数次元をまとめて書きつつ、変数 ${ \Theta,\,\varphi }$ の番号付けを倭式極座標に合わせるためにしている小細工で、あまり詳細を気にする必要はありません。　また、倭式極座標を定義した際の ${ \theta,\,\varphi }$ と添字がずれていますが（倭式極座標のときは ${ \theta _{m-1},\,\varphi_m }$ だった）、これは n 次元球体と n 次元球面で変数の添字がずれるためです。　これまた、あまり気にする必要はありません。　ちなみに

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\Theta_m)^{\frac{1}{n-1}} &= \sin\theta_m & \sqrt{1-(\Theta_m)^{\frac{2}{n-1}}} &= \cos\theta_m \end{align*}}$

に対応しています。

便利のため、(n-1) 次元球面上の一様分布を計算する公式も書き下しておきます。　これは上記の公式で ${ n \rightarrow n-1 }$ としただけのものです。　 ${ y_i\,(1 \le i \le n-2) }$ を (n-3) 次元球面上の一様分布として：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_i &= y_i (\tilde{\Theta}_m)^{\frac{1}{n-2}} \\ x_{n-1} &= \sqrt{1-(\tilde{\Theta}_m)^{\frac{2}{n-2}}} \sin\tilde{\varphi}_{m+1} \\ x_n &= \sqrt{1-(\tilde{\Theta}_m)^{\frac{2}{n-2}}} \cos\tilde{\varphi}_{m+1} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le \Theta_m \le 1 \\ 0 \le \varphi_{m+1} < 2\pi \end{pmatrix} \\[4mm] &\textrm{where} \quad m = [\tfrac{n}{2}]-1 \end{align*}}$

${ n }$ の範囲は ${ n \ge 4 }$ となります（ ${ n-1 \ge 3 }$ ）。

n 次元球体内の一様分布 ${ X_i\, (n \ge 2 ) }$

最後は n 次元球体内の一様分布。　これは (n-1) 次元球面の一様分布を使うと簡単に書けます。　 ${ x_i \; (1 \le i \le n) }$ を ( ${ n-1 }$ ) 次元球面上の一様分布として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} X_i &= \tilde{R}^{\frac{1}{n}} x_i & (0 \le R \le 1) \end{align*}}$

となります。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} R^{\frac{1}{n}} = r \end{align*}}$

に対応しています。　これで n 次元単位球面上、単位球体内の一様分布を計算する公式が書き下せました。　一般化するとちょっとごちゃごちゃしてる感が否めませんが、一様分布と簡単な初等関数しか使ってません。　これも倭式極座標のなせる技。　後はこれを使ってこれらの一様分布を生成するコードを書いてみないとね。　そのうちに。