単位球体内と単位球面上の一様分布

単位球体内の一様分布を生成する方法を見ていくシリーズ（目次） & 倭式極座標を見ていくシリーズ（目次）。　今回は、今まで出てきた公式をまとめておきます。　ついでに単位球面上の一様分布 (uniform distribution on the unit sphere) も見ていきます。　これは単に、単位球体内の一様分布で半径に関連する変数 ${ R }$ を 1 においたものです。

以下では、変数 ${ X \in [a,\,b] }$ （開区間 ${ [a,\,b) }$ でも OK）に対して、 ${ \tilde{X} }$ を区間 ${ [a,\,b] }$ 間に一様分布する変数とします。

単位球体内の一様分布

まずは単位球体内の一様分布。　4次元までの導出は前回までにやりました。　ここでは2, 3次元のものも倭式極座標に合わせた形も載せておきました。

2次元球体

2次元球体は円盤ですね。　導出は『単位球体内の一様分布： 2次元』を参照。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x = \sqrt{\tilde{R}} \cos\tilde{\theta} \\ y = \sqrt{\tilde{R}} \sin\tilde{\theta} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ 0 \le \theta < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

倭式極座標に合わせて書くと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sqrt{\tilde{R}} \sin\tilde{\varphi} \\ x_2 = \sqrt{\tilde{R}} \cos\tilde{\varphi} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

本質的には同じですが。

3次元球体

3次元球体は普通の球ですね。　導出は『単位球体内の一様分布： 3次元』を参照。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2}\cos\tilde{\varphi} \\ y = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2} \sin\tilde{\varphi} \\ z = \sqrt[3]{\tilde{R}}\,\tilde{\Theta} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ -1 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

倭式極座標に合わせて書くと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sqrt[3]{\tilde{R}}\,\tilde{\Psi} \\ x_2 = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2}\sin\tilde{\varphi} \\ x_3 = \sqrt[3]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ -1 \le \Psi \le 1 \\ 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

まぁ、ちょっと文字と順番変えた程度ですな。

4次元球体

導出は『単位球体内の一様分布： 4次元』を参照。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sqrt[4]{\tilde{R}}\sqrt{\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_2 = \sqrt[4]{\tilde{R}}\sqrt{\tilde{\Theta}}\cos\tilde{\varphi}_1 \\ x_3 = \sqrt[4]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_2 \\ x_4 = \sqrt[4]{\tilde{R}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}} \cos\tilde{\varphi}_2 \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ 0 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi_* < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

5次元球体

導出してない5次元のも載せておきましょうかね：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \tilde{\Psi} \\ x_2 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_3 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}_1 \\ x_4 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \sin\tilde{\varphi}_2 \\ x_5 = \tilde{R}^{\frac{1}{5}} \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \cos\tilde{\varphi}_2 \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le R \le 1 \\ -1 \le \Psi < 1 \\ 0 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi_* < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

単位球面上の一様分布

単位給面上の一様分布は、上記の単位球体内の一様分布で ${ R=1 }$ とおくだけです。　次元が1つずれますが。

1次元球面

これは円周ですね：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x = \cos\tilde{\theta} \\ y = \sin\tilde{\theta} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le \theta < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

倭式極座標に合わせた形：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sin\tilde{\varphi} \\ x_2 = \cos\tilde{\varphi} \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

2次元球面

これは通常の球面です：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2}\cos\tilde{\varphi} \\ y = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^2} \sin\tilde{\varphi} \\ z = \tilde{\Theta} \end{cases} & \begin{pmatrix} -1 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

倭式極座標に合わせた形：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \tilde{\Psi} \\ x_2 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2}\sin\tilde{\varphi} \\ x_3 = \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi} \end{cases} & \begin{pmatrix} -1 \le \Psi \le 1 \\ 0 \le \varphi < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

3次元球面

3次元球面は一般相対論とかポアンカレ予想（ポアンカレ-ペレルマンの定理？）とかで出てきますね。　まぁ、関係ないけど：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \sqrt{\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_2 = \sqrt{\tilde{\Theta}}\cos\tilde{\varphi}_1 \\ x_3 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}}\sin\tilde{\varphi}_2 \\ x_4 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}} \cos\tilde{\varphi}_2 \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi_* < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

4次元球面

4次元球面は、カルツァ-クライン理論とかで出てくるかな。　なんか、使えないかなぁ。　それはともかく：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\begin{cases} x_1 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \tilde{\Psi} \\ x_2 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \sin\tilde{\varphi}_1 \\ x_3 = \tilde{\Theta}^{\frac{1}{3}} \sqrt{1-\tilde{\Psi}^2} \cos\tilde{\varphi}_1 \\ x_4 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \sin\tilde{\varphi}_2 \\ x_5 = \sqrt{1-\tilde{\Theta}^{\frac{2}{3}}} \cos\tilde{\varphi}_2 \end{cases} & \begin{pmatrix} -1 \le \Psi < 1 \\ 0 \le \Theta \le 1 \\ 0 \le \varphi_* < 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$