ラプラシアンの極座標表示〜計量テンソル編〜： 3次元

ラプラシアンの極座標表示を求めるシリーズ（目次）。　今回は計量テンソルを使って3次元のラプラシアンの極座標表示を求めてみます。

3次元の極座標は以下のように定められていました：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} x = r\sin\theta\cos\varphi \\ y = r\sin\theta\sin\varphi \\ z = r\cos\theta \end{cases} & \begin{pmatrix} 0 \le r < \infty \\ 0 \le \theta \le \pi \\ 0 \le \varphi \le 2\pi \end{pmatrix} \end{align*}}$

また、後のために位置ベクトル ${ \textbf{r} }$ と変位ベクトル ${ d\textbf{r} }$ を以下のように決めます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{r} &= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\sin\theta\cos\varphi \\ r\sin\theta\sin\varphi \\ r\cos\theta \end{pmatrix} & d\textbf{r} = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \end{align*}}$

位置ベクトルを微分すれば変位ベクトルが得られ、変位ベクトル（の2乗）から計量テンソルを求められます。　変位ベクトルを普通に計算してもいいんですが結構面倒なので、まず極座標の基底を導入します。

極座標の基底

3次元極座標の基底を以下のように取りましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{e}_r &= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi \\ \cos\theta\end{pmatrix} & \textbf{e}_\theta &= \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi \\ \cos\theta\sin\varphi \\ -\sin\theta \end{pmatrix} & \textbf{e}_\varphi &= \begin{pmatrix} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}}$

これらは正規直交基底をなします。　つまり、それぞれの基底ベクトルは長さが1で、互いに直交しています：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{e}_i \cdot \textbf{e}_j &= \delta_{ij} & (i,\,j = r,\,\theta,\,\varphi) \end{align*}}$

このとき、上記で定めた位置ベクトルの、極座標による微分は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\partial {\bf r}}{\partial r} &= {\bf e}_r & \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta} &= r{\bf e}_\theta & \frac{\partial {\bf r}}{\partial \varphi} &= r\sin\theta\,{\bf e}_\varphi \end{align*}}$

計量テンソル

極座標の計量テンソルを求めるために、まず変位ベクトルを極座標で表しましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} d{\bf r} &= \frac{\partial {\bf r}}{\partial r}dr + \frac{\partial {\bf r}}{\partial \theta}d\theta + \frac{\partial {\bf r}}{\partial \varphi}d\varphi \\ &= {\bf e}_r dr + r{\bf e}_\theta d\theta + r\sin\theta\,{\bf e}_\varphi d\varphi \end{align*}}$

これを用いて変異ベクトルの2乗 ${ d\textbf{r}^2 }$ を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} d{\bf r}^2 = dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\varphi^2 \end{align*}}$

となります。　よって計量テンソル ${ g_{ij} }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} g_{ij} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{pmatrix} & (i,\,j = r,\,\theta,\,\varphi) \end{align*}}$

ヤコビアンの計算

以上の結果を用いてヤコビアンの極座標表示を計算しましょう。　前回の最初に書き下した公式より、3次元のラプラシアンは

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle_3 &= \frac{1}{\rho_r\rho_\theta\rho_\varphi}\left\{ \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\rho_\theta\rho_\varphi}{\rho_r}\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\rho_r\rho_\varphi}{\rho_\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\frac{\rho_r\rho_\theta}{\rho_\varphi}\frac{\partial}{\partial \varphi}\right) \right\} \end{align*}}$

で与えられます。　ここで各 ${ \rho }$ の表式は、上記の結果より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \rho_r &= 1 & \rho_\theta &= r & \rho_\varphi &= r\sin\theta & \left(\sqrt{g} = \rho_r\rho_\theta\rho_\varphi = r^2\sin\theta\right) \end{align*}}$

となるので、これをラプラシアンの表式に入れて計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \triangle_3 &= \frac{1}{r^2\sin\theta}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\sin\theta\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\right)\right\} \\[2mm] &= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \end{align*}}$