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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

奇数次元の倭式極座標

倭式極座標を見ていくシリーズ(目次)。 前回に引き続き、今回は奇数次元の倭式極座標

シミュレーションなどではなく解析的に用いる場合には、右手系か左手系かを注意しないといけませんが*1、以下の話では無視しています。 3次元の場合は大丈夫なようです。 5次元では、変数の順序を { r,\,\psi,\,\varphi_1,\,\theta,\,\varphi_2 } もしくは { r,\,\theta,\,\psi,\,\varphi_1,\,\varphi_2 } としないといけなさげですが、あまりキチンと確かめの計算はしてません。

3次元

3次元は以前に紹介した極座標と本質的に同じです。

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x_1 = r \sin \psi \\
        x_2 = r \cos\psi \sin \varphi \\
        x_3 = r \cos\psi \cos \varphi
    \end{cases}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        -\tfrac{\pi}{2} \le \psi \le \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

{ \psi } の定義域に注意。 この極座標での体積要素は

  { \displaystyle\begin{align*}
    dx_1dx_2dx_3
        &= r^2 \cos \psi dr d\psi d\varphi \\
        &= \tfrac{1}{3} d(r^3) d(\sin\psi)d\varphi
\end{align*}}

また、半径 { r } の3次元球の体積 { V_3(r) }

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_3(r)
        &= \tfrac{1}{3}\int_0^{r^3}d\left(r^3\right) \int_{-1}^1 d\left(\sin\psi\right) \int_0^{2\pi}d\varphi \\
        &= \tfrac{1}{3} r^3 \cdot 2 \cdot 2\pi  \\
        &= \tfrac{4}{3}\pi r^3
\end{align*}}

となって、通常の球の体積の公式が得られました。

5次元

5次元倭式極座標は以下のように定義します:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x_1 = r \sin\theta \sin \psi \\
        x_2 = r \sin\theta \cos\psi \sin \varphi_1 \\
        x_3 = r \sin\theta \cos\psi \cos \varphi_1 \\
        x_4 = r \cos\theta \sin \varphi_2 \\
        x_5 = r \cos\theta \cos \varphi_2
    \end{cases}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        -\tfrac{\pi}{2} \le \psi \le \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \theta < \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \varphi < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

この極座標での体積要素は以下のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{i=1}^5dx_i
        &= r^4 \cos\psi (\sin^2\theta \cos\theta) dr d\psi d\theta d\varphi_1 d\varphi_2 \\
        &= \tfrac{1}{5\cdot 3}d(r^5)d(\sin\psi) d(\sin^3\theta) d\varphi_1 d\varphi_2
\end{align*}}

これを使って5次元球の体積 { V_5(r) } は以下のように計算できます:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_5(r)
        &= \tfrac{1}{5 \cdot 3} \int_0^{r^5}d\left(r^5\right) \int_{-1}^1 d\left(\sin\psi\right) \int_0^1 d\left(\sin^3\theta\right)
           \int_0^{2\pi} d\varphi_1 \int_0^{2\pi} d\varphi_2 \\
        &= \tfrac{1}{15} r^5 \cdot 2 \cdot (2\pi)^2 \\
        &= \tfrac{8}{15}\pi^2 r^5 
\end{align*}}

7次元

7次元の倭式極座標は以下のように定義します:

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x_1 = r \sin\theta_2 \sin\theta_1 \sin \psi \\
        x_2 = r \sin\theta_2 \sin\theta_1 \cos\psi \sin \varphi_1 \\
        x_3 = r \sin \theta_2 \sin\theta_1 \cos\psi \cos \varphi_1 \\
        x_4 = r \sin\theta_2 \cos\theta_1 \sin \varphi_2 \\
        x_5 = r \sin\theta_2 \cos\theta_1 \cos \varphi_2 \\
        x_6 = r \cos\theta_2 \sin \varphi_3 \\
        x_7 = r \cos\theta_2 \cos \varphi_3
    \end{cases}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        -\tfrac{\pi}{2} \le \psi \le \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \theta_* < \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \varphi_* < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

この極座標での体積要素は以下のようになり、

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{i=1}^7dx_i
         &= r^6 \cos\psi (\sin^2\theta_1\cos\theta_1)(\sin^4\theta_2 \cos\theta_2)
            dr d\psi d\theta_1 d\theta_2 d\varphi_1 d\varphi_2 d\varphi_3 \\
        &= \tfrac{1}{7\cdot 5 \cdot 3} d(r^7) d(\sin\psi) d(\sin^3\theta_1)
            d(\sin^5\theta_2) d\varphi_1 d\varphi_2 d\varphi_3
\end{align*}}

これを用いて7次元球の体積 { V_7(r) } を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_7(r)
        &= \tfrac{1}{7 \cdot 5 \cdot 3} \int_0^{r^7} d\left(r^7\right) \int_{-1}^1 d\left(\sin\psi\right) \int_0^1 d\left(\sin^3\theta_1\right) \int_0^1 d\left(\sin^5\theta_2 \right) \left( \int_0^{2\pi} d\varphi \right)^3 \\
         &= \tfrac{1}{105} r^7 \cdot 2 \cdot (2\pi)^3 \\ &= \tfrac{16}{105}\pi^3 r^7
\end{align*}}

となります。

{ 2m+1 } 次元

偶数次元の場合と同じように、{ (2m+1) } 次元の極座標{ (2m-1) } 次元の極座標を元に定義します。 新に定義する(角度)変数は { \theta_{m-1},\,\varphi_m } の2つ。 偶数次元の場合と同じになるように、別の角度変数 { \psi } を導入しています。 { y_i \; (1 \le i \le 2m-1) }{ (2m-1) } 次元での極座標として

  { \displaystyle\begin{align*}
    \begin{cases}
        x_i &= y_i \sin\theta_{m - 1} \\
        x_{2m} &= r \cos\theta_{m - 1}\sin\varphi_m \\
        x_{2m+1} &= r \cos\theta_{m - 1} \cos\varphi_m
    \end{cases}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
        0 \le r < \infty \\
        -\tfrac{\pi}{2} \le \psi \le \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \theta_* < \tfrac{\pi}{2} \\
        0 \le \varphi_* < 2\pi
    \end{pmatrix}
\end{align*}}

と定義します。 偶数次元の場合とほぼ同じです。 { \psi } の定義域に注意。 { \psi }{ (2m-1)} 次元極座標 { y_i } の中に含まれています。 この極座標での体積要素は

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{i=1}^{2m+1}dx_i
        &= r^{2m} dr (\cos\psi d\psi) \left(\prod_{i=1}^{m - 1}\sin^{2i}\theta_i \cos \theta_i d\theta_i\right)
            \left(\prod_{i=1}^m d\varphi_i\right) \\
        &= \frac{1}{(2m+1)!!} d(r^{2m+1}) d(\sin\psi) \left\{\prod_{i=1}^{m - 1} d(\sin^{2i+1}\theta_i)\right\}
            \left(\prod_{i=1}^m d\varphi_i\right)
\end{align*}}

また、{ (2m+1) } 次元球の体積 { V_{2m+1}(r) }

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_{2m+1}(r)
        &= \frac{1}{(2m+1)!!} \cdot r^{2m+1}\cdot 2 \cdot (2\pi)^m \\
        &= \frac{2^{m+1}\pi^m \, r^{2m+1}}{(2m+1)!!}
\end{align*}}

{ n = 2m+1 } を用いて書き換えると、『大学数学で求める球の体積:n次元』で得られた結果と一致します。

解析入門 (1)

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解析入門 (2)     基礎数学 3

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*1:これは偶数次元でも同じです。 チョット勘違いで奇数次元の所だけで言及してましたが。