n次元球の体積をガンマ関数で表す

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は以前に導いたn次元球の体積の公式を、ガンマ関数を使って書いてみます。　以前までに導いた結果で今回使うのは下記の通り：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i \\[4mm] I_n &= \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\[4mm] \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} & (n {\rm : even}) \end{cases} \end{align*}}$

球の体積 ${ V_n(r) }$ をガンマ関数で表す手順はこんな感じになります：

${ I_n }$ をガンマ関数で表す
${ I_n }$ の積をガンマ関数で表す
${ V_n(r) }$ をガンマ関数で表す

${ I_n }$ をガンマ関数で表す

「とあるガンマ関数の公式目録」で示したガンマ関数の公式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} n!! = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1) & (n {\rm : odd}) \\[4mm] 2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1) & (n {\rm : even}) \end{cases} \end{align*}}$

であるから、n が奇数の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_n &= \frac{2^\frac{n-1}{2} \Gamma(\tfrac{n-1}{2}+1)}{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1)} \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \end{align*}}$

n が偶数の場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_n &= \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot 2^\frac{n-1}{2} \Gamma(\tfrac{n-1}{2}+1)}{2^\frac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}+1)}\cdot \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \end{align*}}$

となり、どちらも同じ形で書けます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I_n = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \end{align*}}$

おぉ?。　スッキリ。

${ I_n }$ の積をガンマ関数で表す

上で求めた ${ I_n }$ の表式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \prod_{i=1}^n I_i &= \prod_{i=1}^n \left\{\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\tfrac{\Gamma\left(\frac{i+1}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{i+2}{2}\right)}\right\} \\ &= \left(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\right)^n \cdot \tfrac{\Gamma\left(1\right)} {\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)} \cdot \tfrac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(2\right)} \cdot \tfrac{\Gamma\left(2\right)}{\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)} \cdots \tfrac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)} \\ &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{2^{n}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \end{align*}}$

約分によって大半の因子が消えるのは ${ I_n }$ の積をそのままの表式で計算したのと同じです。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}I_k = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{2^{n}\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \end{align*}}$

かなり簡潔になりました。

球の体積をガンマ関数で表す

では、最後の仕上げ。　上記の結果より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \prod_{k=1}^{n-2}I_k = \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{2^{n-2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \end{align*}}$

なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i \\ &= \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \frac{\pi^{\frac{n-2}{2}}}{2^{n-2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}} r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} \end{align*}}$