大学数学で求める球の体積：n次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は「大学数学で求める球の体積」のまとめ的な ${ n }$ 次元球の体積。

${ n }$ 次元球の体積

${ n }$ 次元球

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_n (r) = \{(x_1,\,\cdots,\,x_n) \in \textbf{R}^n | \sum_{i=1}^n x_i^2 = r^2\} \end{align*}}$

の体積を求めます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n (r) = \int_{B_n(r)}dx_1 \cdots dx_n \end{align*}}$

${ n }$ 次元極座標のヤコビアンは「極座標のヤコビ行列とヤコビアン： n 次元」で求めたので、それを使って積分を行います：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) &= \int_{B_n(r)} r^{n-1} \left(\prod_{i=1}^{n-2} \sin^{n-i-1}\theta_i \right) dr d\theta_1 \cdots d\theta_{n-1} \\ &= \int_0^r r^{n-1}dr \left(\prod_{i=1}^{n-2} \int_0^\pi\sin^{n-i-1}\theta_i d\theta_i \right)\int_0^{2\pi}d\theta_{n-1} \end{align*}}$

ここで（ ${ 1 \le i \le n-2 }$ として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} & \int_0^r r^{n-1}dr = \frac{1}{n}r^n \\ & \int_0^\pi\sin^{n-i-1}\theta_i d\theta_i &= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^i\theta d\theta = 2I_i \\ & \int_0^{2\pi} d\theta_{n-1} = 2\pi \end{align*}}$

ただし ${ I_i }$ は「とある三角関数の積分公式」で定義した積分です。　これらの結果をまとめると次のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) = \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i \end{align*}}$

ここで「とある三角関数の積分公式」で得られた ${ I_i }$ の表式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \prod_{i=1}^{n-2}I_i = \begin{cases} \dfrac{1}{(n-2)!!}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{\frac{n-3}{2}} & (n {\rm : odd}) \\[4mm] \dfrac{1}{(n-2)!!}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{\frac{n-2}{2}} & (n {\rm : even}) \end{cases} \end{align*}}$

なので、結局

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) = \begin{cases} \dfrac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2}r^n}{n!!} & (n \textrm{ : odd}) \\[4mm] \dfrac{(2\pi)^\frac{n}{2}r^n}{n!!} & (n \textrm{ : even}) \end{cases} \end{align*}}$