とある三角関数の積分公式

今回は、 ${ n }$ 次元球の体積を求める際に使う三角関数の積分公式を導きます。

${ n }$ を自然数とする。　次の積分
　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n\theta d\theta,& J_n &= \int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n\theta d\theta \end{align*} }$
を計算せよ。

${ I_n = J_n }$ を示す

積分 ${ I_n }$ に対して変数変換 ${ \theta \rightarrow \varphi = \tfrac{\pi}{2} - \theta }$ を行うと

積分測度： ${ d\varphi = -d\theta }$
積分区間： ${ \varphi : \tfrac{\pi}{2} \rightarrow 0 }$
被積分関数： ${ \sin^n \theta = \sin^n \left(\tfrac{\pi}{2}-\varphi\right) = \cos^n\varphi }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= -\int_\frac{\pi}{2}^0 \cos^n\varphi\, d\varphi \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n\varphi\, d\varphi \\ &= J_n \end{align*} }$

${ I_1 }$ を求める

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_1 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta d\theta \\ &= \left[\cos\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \end{align*} }$

${ I_2 }$ を求める

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_2 &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^2\theta d\theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{1-\cos2\theta}{2}d\theta \\ &= \left[\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\cos2\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{align*} }$

${ I_n }$ が満たす漸化式を求める

${ n \ge 3 }$ とする。

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \int_0^\frac{\pi}{2} \cos\theta\cos^{n-1}\theta d\theta \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} (\sin\theta)'\cos^{n-1}\theta d\theta \\ &= \left[\sin\theta\cos^{n-1}\theta\right]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} \sin\theta (\cos^{n-1}\theta)' d\theta \\ &= (n-1) \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^2\theta \cos^{n-2}\theta d\theta \\ &= (n-1) \int_0^\frac{\pi}{2} (1-\cos^2\theta) \cos^{n-2}\theta d\theta \\ &= (n-1) \left\{\int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n-2}\theta d\theta - \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n\theta d\theta \right\} \\ &= (n-1)(I_{n-2} - I_n) \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n = (n-1)(I_{n-2} - I_n) \end{align*} }$

これを ${ I_n }$ について解くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \end{align*} }$

${ I_n }$ を求める

${ n }$ が奇数の場合

${ n \ge 3 }$ のとき、上記で導いた漸化式より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{n-1}{n}I_{n-2} \\ &= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}I_{n-4} \\ & \qquad \vdots \\ &= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{2}{3}I_1 \\ &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3} I_1 \end{align*} }$

ここで ${ I_1 = 1 }$ より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3} \\ &= \frac{(n-1)!!}{n!!} \end{align*} }$

${ n!! }$ は高校数学では出てこないかもしれませんが、階乗の親戚。　整数を1個とばしで掛けていくだけ（ ${ 0!! = 1 }$ に注意）：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} n!! = \begin{cases} 1 & n=0,\,1 \\ n(n-2)(n-4)\cdots 2 & (n\ge 2,\,n {\rm : even}) \\ n(n-2)(n-4)\cdots 1 & (n\ge 2,\,n {\rm : odd}) \end{cases} \end{align*} }$

${ I_n }$ の表式は ${ n = 1 }$ のときも成り立つ。

n が偶数の場合

奇数の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n = \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4} I_2 \end{align*} }$

ここで ${ I_2 = \tfrac{\pi}{4} }$ より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4}\cdot\frac{\pi}{4} \\ &= \frac{(n-1)(n-3)\cdots 3}{n(n-2)\cdots 4 \cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} \\ &= \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi}{2} \end{align*} }$

この表式は ${ n = 2 }$ のときも成り立つ。

結果

結果をまとめると

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} I_n = J_n = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\ \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} & (n {\rm : even}) \end{cases} \end{align*} }$