高校数学で求める球の体積：n次元

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回はn次元球

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B_n(r) = \left\{ (x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n) \in \textbf{R}^n \left| \sum_{k=1}^n x_k^2 \le r^2 \right. \right\} \end{align*}}$

の体積

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) = \int_{B_n(r)} dx_1 dx_2 \cdots dx_n \end{align*}}$

を求めます。

${ a_n }$ の定義と ${ a_1 }$ の値

n次元球の体積 ${ V_n(r) }$ は ${ r^n }$ に比例するので、その比例定数を ${ a_n }$ とおきましょう*1：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n (r) = a_n r^n \end{align*}}$

${ a_n }$ が n の式として求まれば、 ${ V_n(r) }$ が求まります。　「高校数学で求める球の体積：1次元」より ${ V_1(r) = 2r }$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 = 2 \end{align*}}$

${ a_n }$ の漸化式を求める

${ n \ge 2 }$ とします。　 ${ B_n(r) }$ を ${ x_1 }$ 軸に垂直で球の中心から距離 ${ x }$ の「(n-1)次元平面」で切ると、半径 ${ \sqrt{r^2-x^2} }$ の「(n-1)次元球」になり、その「(n-1)次元体積」は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_{n-1} (\sqrt{r^2-x^2}) = a_{n-1}\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^{n-1} \end{align*}}$

となります。　したがって、 ${ V_n(r) }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n (r) &= \int_{-r}^r V_{n-1} (\sqrt{r^2-x^2})dx \\ &= \int_{-r}^r a_{n-1} \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^{n-1} dx \\ &= 2a_{n-1} \int_0^r \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} dx \end{align*}}$

ここで積分について ${ x = r \sin\theta }$ とおいて積分変数を ${ x }$ から ${ \theta }$ に変換すると：

積分測度: ${ dx = r \cos \theta d\theta }$
積分範囲: ${ \theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2} }$
被積分関数: ${ \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} = r^{n-1}\cos^{n-1}\theta }$

したがって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^r \; \left(r^2-x^2\right)^\frac{n-1}{2} dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} r\cos\theta \; r^{n-1} \cos^{n-1}\theta \; d\theta \\ &= r^n \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n \theta \; d\theta \\ &= J_n r^n \end{align*}}$

ここで「とある三角関数の積分公式」で定義した ${ J_n }$ を使いました。　以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n (r) = 2a_{n-1} J_n r^n \end{align*}}$

一方、 ${ V_n(r) = a_n r^n }$ なので、結局 ${ a_n }$ の漸化式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_n = 2 a_{n-1} J_n \end{align*}}$

となります。

${ a_n }$ の一般項を求める

${ a_n }$ の初項と漸化式は以下のようになりました：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_n = 2 a_{n-1} J_n & (n \ge 2) \end{cases} \end{align*}}$

これを用いて、 ${ a_n }$ の一般項を求めましょう。　 ${ n \ge 2 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_n &= 2a_{n-1}J_n \\ &= 2^2a_{n-2}J_{n-1}J_n \\ & \qquad\vdots \\ &= 2^{n-1} a_1 J_2 J_3 \cdots J_n \\ &= 2^n J_1 J_2 \cdots J_n & (\because a_1 = 2,\,J_1 = 1) \end{align*}}$

これは ${ n=1 }$ のときも成り立ちます。

${ n }$ が奇数の場合

${ J_n }$ に「とある三角関数の積分公式」で求めた表式を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} J_1 J_2 \cdots J_n &= \tfrac{0!!}{1!!} \cdot \tfrac{1!!}{2!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot \tfrac{2!!}{3!!}\cdot \tfrac{3!!}{4!!}\tfrac{\pi}{2} \cdots\tfrac{(n-2)!!}{(n-1)!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{(n-1)!!}{n!!} \\ &= \left(\frac{\pi}{2}\right)^\frac{n-1}{2}\frac{1}{n!!} \end{align*}}$

${ 0!!=1 }$ に注意。　よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_n &= \frac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2}}{n!!} \\[2mm] &= \frac{2(2\pi)^{m - 1}}{(2m-1)!!} & (n = 2m-1) \end{align*}}$

n が偶数の場合

n が奇数の場合と同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} J_1 J_2 \cdots J_n &= \tfrac{0!!}{1!!} \cdot \tfrac{1!!}{2!!}\tfrac{\pi}{2}\cdot \tfrac{2!!}{3!!}\cdot \tfrac{3!!}{4!!}\tfrac{\pi}{2} \cdots\tfrac{(n-2)!!}{(n-1)!!}\cdot\tfrac{(n-1)!!}{n!!}\tfrac{\pi}{2} \\ &= \left(\frac{\pi}{2}\right)^\frac{n}{2}\frac{1}{n!!} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_n &= \frac{(2\pi)^\frac{n}{2}}{n!!} \\[2mm] &= \frac{(2\pi)^m}{(2m)!!} & (n = 2m) \end{align*}}$

ここで ${ (2m)!! = 2^m m! }$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_n = \frac{\pi^m}{m!} \end{align*}}$

${ V_n (r) }$ の表式

以上の結果をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) &= \begin{cases} \dfrac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2} r^n}{n!!} & (n {\rm : odd}) \\[4mm] \dfrac{(2\pi)^\frac{n}{2}r^n}{n!!} & (n {\rm : even}) \end{cases} \\[2mm] &= \begin{cases} \dfrac{2(2\pi)^{m - 1}r^{2m-1}}{(2m-1)!!} & (n=2m-1) \\[4mm] \dfrac{\pi^m r^{2m}}{m!} & (n=2m) \end{cases} \end{align*}}$

ただし ${ n,\,m = 1,\,2,\,3,\,\cdots }$

具体的な表式

n に具体的な値を代入した表式を幾つか書き下しておきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_1(r) &= 2r \\ V_2(r) &= \pi r^2 \\ V_3(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ V_4(r) &= \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \\ V_5(r) &= \frac{8}{15} \pi^2 r^5 \\ V_6(r) &= \frac{1}{6} \pi^3 r^6 \\ V_7(r) &= \frac{16}{105} \pi^3 r^7 \end{align*}}$

*1: ${ a_n }$ はn次元単位球（半径1のn次元球）の体積と思ってもよい。

倭算数理研究所

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