高校数学で求める球の体積：4次元

（なるべく）高校数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は半径 ${ r }$ の4次元球 ${ B_4(r) = \{ (x,\,y,\,z,\,w) \in \mathbf{R}^4 | x^2+y^2+z^2+w^2 \le r^2 \} }$ の体積

　　 $V_4(r) = \int_{B_4(r)}dxdydzdw$

を求めます。　このあたりからが、普段あまり使わない体積になります。　でも計算の仕方は3次元までと同じ。

${ B_4(r) }$ を ${ x }$ 軸に垂直で球の中心から距離 ${ x }$ の「3次元平面」で切ると、半径 ${ \sqrt{r^2-x^2} }$ の「3次元球」（球）になり、その「3次元体積」（体積）は

　　 $V_3(\sqrt{r^2-x^2}) = \frac{4}{3}\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3$

となります。　したがって、 ${ V_4(r) }$ は以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} V_4(r) &= \int_{-r}^r V_3(\sqrt{r^2-x^2}) dx \\[2mm] &= \frac{4}{3}\pi \int_{-r}^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 dx \\[2mm] &= \frac{8}{3}\pi \int_0^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 dx \end{align*} }$

2次元のときと同じように ${ x = r\sin\theta }$ とおいて積分変数を ${ x }$ から ${ \theta }$ に変換します：

積分測度: $dx = r \cos \theta d\theta$
積分範囲: $\theta : 0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$
被積分関数: $\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^3 = r^3\cos^3\theta$

したがって

　　 $V_4(r) = \frac{8}{3}\pi r^4\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta$

${ \cos^4\theta }$ は、 ${ \cos\theta }$ の倍角の公式を2度使って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos^4\theta &= \left(\cos^2\theta\right)^2 \\[2mm] &= \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 \\[2mm] &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cos^22\theta \\[2mm] &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{4}\cdot\frac{1+\cos4\theta}{2} \\[2mm] &= \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta \end{align*}}$

なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+\frac{1}{8}\cos4\theta\right) d\theta \\[2mm] &= \left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta + \frac{1}{32}\sin 4\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[2mm] &= \frac{3}{16}\pi \end{align*}}$