今回は正八面体の表面積、体積等を求めていきす。 このあたりまでは高校レベルの数学で解けますね。 導出の都合上、今までと求める量の順番を変えてます。
一辺の長さを とし、以下のように頂点に名前を付けておきます。

この正八面体を青い線、赤い線に沿って切ると、それぞれ以下のような断面が得られます(青 → 左、赤 → 右):


幾何学的対象の個数等
面の数 |
8 |
---|---|
辺の数 |
12 |
頂点の数 |
6 |
面の形状(正 |
正三角形 ( |
1つの頂点に集まる面の個数 |
4 |
双対パートナー | 正六面体(立方体) |
オイラーの関係式は
となって成り立ってます。
正多面体で面の数 、面の形状(正
角形)、1つの頂点に集まる面の個数
から辺の数
と頂点の数
を計算すると
となり、こちらも成り立っています。
内接球・辺に接する球・外接球の半径 
辺に接する球の半径
次に内接球の半径 を求めましょう。 正八面体の重心 O から △ABC に下ろした垂線の足を H とすると、これは △ABC の重心となるので*1
ここで直角三角形OBH (断面右図参照)に注目して、三平方の定理より
を得ます。
3つの半径の比も計算しておきましょう。
まぁ、それなりにキレイにまとまりましたね。
表面積 
表面積は、一辺の長さが
体積 
正四面体 ABCDEF は、4点 BCDE を含む平面で切ると2つの合同な正四角錐に分けられます。 これらの体積は簡単に計算できて、高さが
となります。
体積から内接円の半径を求める
例によって、体積
となって、先ほどの結果と一致します。
隣り合う2つの面のなす角 
四角形 AMFN (断面右図)に注目して
これは約109°です*2。
さて、順番で行くと次は正十二面体。 この辺から結構大変だ。 図を描くのもどうしたものか。

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