n次元球面の面積とn次元球体の体積をガンマ関数で表す〜エレガント編〜

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　以前の記事で、かなり力ずくですが「 ${ n }$ 次元球体の体積」や「 ${ n }$ 次元球面の面積」の表式を導きました。　ただ、実際にはもっと普通にやられる、エレガントな導出方法があるので、今回はそれをやってみます。　全体的にやっていることは、ガウス積分の値を求める方法を ${ n }$ 次元に拡張したようなことです。

準備

まずは準備として

ガウス積分
${ n }$ 次元球面
ガンマ関数

の定義を確認しておきましょう。

ガウス 積分： Gaussian Integral

ガウス積分を ${ I }$ とします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx \end{align*}}$

ガウス積分の値は覚えておくべきものですが、後でついでに導出します。

${ n }$ 次元球面 ${ S_n }$ ： n-sphere

${ n }$ 次元単位球面を ${ S_n }$ 、その上の面積要素を ${ d\Omega_n }$ 、 ${ S_n }$ の面積を ${ A_n }$ とします。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} S_n &= \left\{(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_{n+1}) \left|\sum_{i = 1}^n x_i^2 = 1 \right.\right\} \\ d\Omega_n &= \left(\prod_{i=1}^n\sin^{n-i}\theta_i\right) d\theta_1d\theta_2\cdots d\theta_n \\ A_n &= \int_{S_n}d\Omega_n \end{align*}}$

${ d\Omega_n }$ の表式は以前の記事「極座標のヤコビ行列とヤコビアン： n次元」を参照。　次元が1つズレてることに注意。　ただし、具体的な表式はほとんど使いません。　念のために付け加えておくと、1次元球面 ${ S_1 }$ は通常の円周、2次元球面 ${ S_2 }$ は通常の球面のことです。　後で

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_1 = 2\pi \end{align*}}$

を使います。

ガンマ関数

ガンマ関数は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt \end{align*}}$

によって定義されます（「とあるガンマ関数の公式目録」参照）。　後の導出でΓ関数の性質

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \Gamma(1) = 1 \end{align*}}$

を使います。

${ A_n }$ を求める

では、 ${ n }$ 次元単位球面の面積 ${ A_n }$ をガンマ関数を使って表してみましょう。　手順は

${ I^n }$ をガンマ関数と ${ A_n }$ で表す
ガウス積分 ${ I }$ の値を求める
${ A_n }$ の表式を求める

です。

${ I^n }$ をガンマ関数と ${ A_n }$ で表す

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I^n &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx\right)^n \\[4mm] &= \int_{\mathbf{R}^n} e^{-(x_1^2 + x_2^2 + \cdots +x_n^2)}dx_1dx_2\cdots dx_n \\[4mm] &= \int_{S_{n-1}}\int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}drd\Omega_{n-1} \\[4mm] &= \int_{S_{n-1}}d\Omega_{n-1}\int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}dr \\[4mm] &= A_{n-1} \int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}dr & \left(A_n = \int_{S_n}d\Omega_n\right) \end{align*}}$

ここで ${ r }$ 積分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}dr \end{align*}}$

について以下の変数変換

変数： ${ t = r^2 \; (t \ge 0) }$
積分測度： ${ dt = 2rdr }$
積分区間： ${ t : 0 \rightarrow \infty }$

を施すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \int_0^\infty e^{-r^2} r^{n-1}dr &= \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-t}t^{\frac{n}{2}-1}dt \\ &= \frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \end{align*}}$

となり、したがって ${ I_n }$ の表式として以下を得ます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I^n = \frac{1}{2}A_{n-1} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \end{align*}}$

ガウス 積分 ${ I }$ の値を求める

上記の関係式で ${ n=2 }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I^2 &= \tfrac{1}{2}A_1\Gamma(1) \\ &= \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot 1 & (A_1 = 2\pi,\,\Gamma(1) = 1) \\ &= \pi \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} I = \sqrt{\pi} \end{align*}}$

となり、ガウス積分の（よく知っているであろう）値が導けました。

${ A_n }$ の表式を求める

以上を合わせると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \pi^{\frac{n}{2}} = \tfrac{1}{2}A_{n-1}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_{n-1} = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_n = \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \end{align*}}$

${ n }$ 次元球面の面積と ${ n }$ 次元球体の体積

半径 ${ r }$ の ${ n }$ 次元球面の面積を ${ A_n(r) }$ とすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_n(r) = A_nr^n = \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}r^n}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \end{align*}}$

また半径 ${ r }$ の ${ n }$ 元球体の体積を ${ V_n(r) }$ とすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} V_n(r) &= \int_0^r A_{n-1}(r) dr \\ &= A_{n-1}\int_0^r r^{n-1}dr \\ &= \frac{1}{n}A_{n-1}r^n \\ &= \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}r^n}{n\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\ &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} & \left(\tfrac{n}{2}\Gamma\left(\tfrac{n}{2}\right) = \Gamma\left(\tfrac{n}{2}+1\right)\right) \end{align*}}$

まとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_n(r) &= \frac{2\pi^{\frac{n+1}{2}}r^n}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \\[2mm] V_n(r) &= \frac{\pi^{\frac{n}{2}}r^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \end{align*}}$