大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 以前の記事で、かなり力ずくですが「次元球体の体積」や「
次元球面の面積」の表式を導きました。 ただ、実際にはもっと普通にやられる、エレガントな導出方法があるので、今回はそれをやってみます。 全体的にやっていることは、ガウス積分の値を求める方法を
次元に拡張したようなことです。
準備
まずは準備としての定義を確認しておきましょう。
ガウス積分 : Gaussian Integral
ガウス積分を
ガウス積分の値は覚えておくべきものですが、後でついでに導出します。
次元球面
: n-sphere
の表式は以前の記事「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n次元」を参照。 次元が1つズレてることに注意。 ただし、具体的な表式はほとんど使いません。 念のために付け加えておくと、1次元球面
は通常の円周、2次元球面
は通常の球面のことです。 後で
を使います。
ガンマ関数
ガンマ関数は
によって定義されます(「とあるガンマ関数の公式目録」参照)。 後の導出でΓ関数の性質
を使います。
を求める
では、です。
をガンマ関数と
で表す
ここで 積分
について以下の変数変換
を施すと
となり、したがって の表式として以下を得ます:
ガウス積分
の値を求める
上記の関係式で
よって
となり、ガウス積分の(よく知っているであろう)値が導けました。
の表式を求める
以上を合わせると
より
よって
次元球面の面積と
次元球体の体積
半径
また半径 の
元球体の体積を
とすると
まとめると
となり、以前に導いた表式(表面積 、体積
)と同じ式が導けました。

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