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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

とあるガンマ関数の公式目録

定義

Γ関数は以下のように定義される:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma (x) = \int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt
\end{align*}
}

性質

ガンマ関数は以下を満たす:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    &\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) & (x \in \mathbf{R}) \\
    &\Gamma(1) = 1 \\
    &\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \\
    &\Gamma(n+1) = n! = \frac{(2n)!!}{2^n} & (n \in \mathbf{N}) \\
    &\Gamma(n+\tfrac{1}{2}) = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} & (n \in \mathbf{N})
\end{align*}
}

証明

{ \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) }
収束の評価などは行ってませんがご了承を。 証明は部分積分するだけ。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(x+1)
        &= \int_0^\infty e^{-t}t^x dt \\
        &= \int_0^\infty (-e^{-t})'t^x dt \\
        &= \left[-e^{-t}t^x\right]_0^\infty + x\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt \\
        &= x\Gamma(x)
\end{align*}
}

{ \Gamma(1) }
これは単なる指数関数の積分

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(1)
        &= \int_0^\infty e^{-t}dt \\
        &= \left[-e^{-t}\right]_0^\infty \\
        &= 1
\end{align*}
}

{ \Gamma(\tfrac{1}{2}) }
定義より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(\tfrac{1}{2})
        &= \int_0^\infty e^{-t}t^{-\frac{1}{2}}dt \\
        &= \int_0^\infty e^{-t} \frac{dt}{\sqrt{t}}
\end{align*}
}


ここで変数変換 { t \rightarrow r = \sqrt{t} } を施すと

よって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(\tfrac{1}{2})
         &= 2\int_0^\infty e^{-r^2} dr \\
         &= 2\frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
         &= \sqrt{\pi}
\end{align*}
}

途中、Gauss 積分の公式を使いました。

{ \Gamma(n+1) }
Γ関数は階乗を拡張したような関数ですね:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(n+1)
        &= n\Gamma(n) \\
        &= n(n-1)\Gamma(n-1) \\
        &\quad\vdots \\
        &= n(n-1)\cdots 1 \cdot \Gamma(1) \\
        &= n(n-1)\cdots 1 & (\because \Gamma(1) = 1) \\
        &= n!
\end{align*}
}

ダブル・ファクトリアルの表式は証明省略。

{ \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) }
示し方は { Γ(1) } の場合と同じ:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \Gamma(n+\tfrac{1}{2})
        &= \Gamma(\tfrac{2n+1}{2}) \\
        &= \tfrac{2n-1}{2}\Gamma(\tfrac{2n-1}{2}) \\
        &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\Gamma(\tfrac{2n-3}{2}) \\
        &\quad\vdots \\
        &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2} \cdot \Gamma(\tfrac{1}{2}) \\
        &= \tfrac{2n-1}{2}\tfrac{2n-3}{2}\cdots \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} & (\because \Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi})\\
        &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
\end{align*}
}

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