n次元球面の面積

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ（目次）。　今回は n 次元球面の面積の表式を導きます。　半径 ${ r }$ の n 次元球面を ${ S_n(r) }$ とし、その面積を ${ A_n(r) }$ とします。　 ${ A_n(r) }$ は (n+1) 次元球の体積 ${ V_{n+1}(r) }$ を半径 ${ r }$ で微分すれば得られます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_n(r) = \frac{d}{dr}V_{n+1}(r) \end{align*}}$

以前導いた ${ V_n(r) }$ の表式を代入すると次のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_n(r) &= \frac{2\pi^\frac{n+1}{2}r^n}{\Gamma\left(\tfrac{n+1}{2}\right)} \\[4mm] &= \begin{cases} \dfrac{2\pi^\frac{n+1}{2}r^n}{\left(\frac{n-1}{2}\right)!} & (n {\rm : odd}) \\[4mm] \dfrac{2 (2\pi)^\frac{n}{2} r^n}{(n-1)!!} & (n {\rm : even}) \end{cases} \\[4mm] &= \begin{cases} \dfrac{2 \pi^m r^{2m-1}}{(m - 1)!} & (n = 2m-1) \\[4mm] \dfrac{2 (2\pi)^m r^{2m}}{(2m-1)!!} & (n = 2m) \end{cases} \end{align*}}$

具体的な表式

n に具体的な値を代入した表式を幾つか書き下しておきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} A_1(r) &= 2 \pi r \\ A_2(r) &= 4 \pi r^2 \\ A_3(r) &= 2 \pi^2 r^3\\ A_4(r) &= \frac{8}{3} \pi^2 r^4 \\ A_5(r) &= \pi^3 r^5 \\ A_6(r) &= \frac{16}{15} \pi^3 r^6 \end{align*}}$