倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

大学数学で求める球の体積:n次元

大学数学を使って球の体積を求めるシリーズ(目次)。 今回は「大学数学で求める球の体積」のまとめ的な { n } 次元球の体積。

{ n }次元球の体積

{ n } 次元球

  { \displaystyle\begin{align*}
    B_n (r) = \{(x_1,\,\cdots,\,x_n) \in \textbf{R}^n | \sum_{i=1}^n x_i^2 = r^2\}
\end{align*}}

の体積を求めます。

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n (r) = \int_{B_n(r)}dx_1 \cdots dx_n
\end{align*}}

{ n }次元極座標ヤコビアンは「極座標のヤコビ行列とヤコビアン : n 次元」で求めたので、それを使って積分を行います:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r)
        &= \int_{B_n(r)} r^{n-1} \left(\prod_{i=1}^{n-2} \sin^{n-i-1}\theta_i  \right) dr d\theta_1 \cdots d\theta_{n-1} \\
        &= \int_0^r r^{n-1}dr \left(\prod_{i=1}^{n-2} \int_0^\pi\sin^{n-i-1}\theta_i d\theta_i \right)\int_0^{2\pi}d\theta_{n-1}
\end{align*}}

ここで({ 1 \le i \le n-2 } として)

  { \displaystyle\begin{align*}
    & \int_0^r r^{n-1}dr = \frac{1}{n}r^n \\
    & \int_0^\pi\sin^{n-i-1}\theta_i d\theta_i &= 2 \int_0^{\pi/2} \sin^i\theta d\theta = 2I_i \\
    & \int_0^{2\pi} d\theta_{n-1} = 2\pi
\end{align*}}

ただし { I_i } は「とある三角関数の積分公式」で定義した積分です。 これらの結果をまとめると次のようになります:

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r) = \frac{2^{n-1} \pi r^n}{n} \prod_{i=1}^{n-2}I_i
\end{align*}}

ここで「とある三角関数の積分公式」で得られた { I_i } の表式より

  { \displaystyle\begin{align*}
    \prod_{i=1}^{n-2}I_i
        = \begin{cases}
            \dfrac{1}{(n-2)!!}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{\frac{n-3}{2}} & (n {\rm : odd}) \\[4mm]
            \dfrac{1}{(n-2)!!}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{\frac{n-2}{2}} & (n {\rm : even})
        \end{cases}
\end{align*}}

なので、結局

  { \displaystyle\begin{align*}
    V_n(r)
        = \begin{cases}
            \dfrac{2(2\pi)^\frac{n-1}{2}r^n}{n!!} & (n \textrm{ : odd}) \\[4mm]
            \dfrac{(2\pi)^\frac{n}{2}r^n}{n!!} & (n \textrm{ : even})
        \end{cases}
\end{align*}}

不思議な数πの伝記

不思議な数πの伝記

解析入門 (1)

解析入門 (1)