逆双曲線関数の公式：純虚数の引数

もう少し双曲線関数の公式シリーズ（目次）。　今回は逆双曲線関数の引数が純虚数の場合を考えます（けっこう高校数学を逸脱してますが）。　導く公式は ${f(x)}$ を逆双曲線関数として、実数 ${y}$ に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f(iy) = \alpha + i \beta \end{align*}}$

を満たす実数 ${\alpha,\,\beta}$ を ${y}$ で表す式です。

【目次】

逆正弦関数
- 【別導出】
逆余弦関数
- 【別導出】
逆正接関数・逆余接関数
逆正割関数・逆余割関数
まとめ
- 【修正】

逆正弦関数

${y}$ を実数とし、 ${\sinh^{\small -1} iy = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\pi < \beta \leqq \pi}$ *1）とおきます。　両辺の ${\sinh}$ をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} iy &= \sinh\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \sinh\alpha\cosh i\beta + \cosh\alpha\sinh i\beta \\ &= \sinh\alpha\cos\beta + i\cosh\alpha\sin\beta \end{align*}}$

となり、最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \sinh\alpha\cos\beta = 0 & \cdots (1)\\[2mm] \cosh\alpha\sin\beta = y & \cdots (2) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　(1) 式が満たされるためには ${ \alpha = 0,\, \beta = \pm\frac{\pi}{2}}$ のいずれかが満たされていればいいことが分かります。　それぞれの場合を見ていきましょう。

${\alpha = 0}$ の場合、(2) 式より ${ \sin\beta = y}$ なので、 ${-1 \leqq y \leqq 1}$ なら解があって ${ \beta = \sin^{\small -1} y}$ 。
${ \beta = \frac{\pi}{2}}$ の場合、(2) 式より ${ \cosh\alpha = y }$ なので、 ${ y \geqq 1}$ なら解があって ${ \alpha = \pm\cosh^{\small -1} y }$ 。　分岐の複号は ${+}$ の方をとり、 ${ \alpha = \cosh^{\small -1} y }$ 。
${ \beta = -\frac{\pi}{2}}$ の場合、(2) 式より ${ -\cosh\alpha = y }$ なので、 ${ y \leqq -1}$ なら解があって ${ \alpha = \pm\cosh^{\small -1} (-y) }$ 。　複号は逆正弦関数が奇関数になることを課して ${ \alpha = -\cosh^{\small -1} (-y) }$ 。

以上をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{-1}iy = \begin{cases} \cosh^{\small -1} y + \dfrac{\pi i}{2} & (y > 1) \\[2mm] i\sin^{\small -1}y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] -\cosh^{\small -1} (-y) - \dfrac{\pi i}{2} & (y < -1) \end{cases} \end{align*}}$

【別導出】

上記の表式を『逆双曲線関数を対数関数で表す』で得た式が複素数（純虚数）の引数に対しても成り立つとして導いてみましょう。　 ${y}$ を実数として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} iy = \log\left(iy + \sqrt{1 - y^2}\right) \qquad \cdots(\textrm{i}) \end{align*}}$

が成り立っているとします。　以下、根号の中などを考慮して ${|y| \leqq 1,\,y > 1,\,y < -1}$ の場合に分けて見ていきましょう。

${|y| \leqq 1}$ の場合。　(i) 式と逆正弦関数を対数関数で表した式 ${\sin^{\small -1}x = -i\log\left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right)}$ （『複素関数としての逆三角関数』参照）より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} iy = i\sin^{\small -1} y \end{align*}}$

${y > 1}$ の場合。　(i) 式と『逆双曲線関数を対数関数で表す』で得た逆余弦関数 ${\cosh^{\small -1} x}$ の表式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} iy &= \log\left(iy + i\sqrt{y^2 - 1}\right) \\ &= \log\left(y + \sqrt{y^2 - 1}\right) + \frac{\pi i}{2} \\ &= \cosh^{\small -1} y + \frac{\pi i}{2} \end{align*}}$

${y < -1}$ の場合。　 ${y > 1}$ の場合と似ていますが、使った ${\cosh^{\small -1} x}$ の表式が ${x > 1}$ の範囲でなければ使えないことに注意して、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{\small -1} iy &= \log\left(iy + i\sqrt{y^2 - 1}\right) \\ &= \log\left\{-i\left(-y - \sqrt{(-y)^2 - 1}\right)\right\} \\ &= \log\left(-y - \sqrt{(-y)^2 - 1}\right) - \frac{\pi i}{2} \\ &= -\log\left(-y + \sqrt{(-y)^2 - 1}\right) - \frac{\pi i}{2} \\ &= -\cosh^{\small -1} (-y) -\frac{\pi i}{2} \end{align*}}$

を得ます。

逆余弦関数

${\cosh^{\small -1} iy = \alpha + i\beta}$ （ ${\alpha,\,\beta}$ は実数、 ${-\pi < \beta \leqq \pi}$ ）とおきます。　両辺の ${\cosh}$ をとると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} iy &= \cosh\left(\alpha + i \beta\right) \\ &= \cosh\alpha\cosh i\beta + \sinh\alpha\sinh i\beta \\ &= \cosh\alpha\cos\beta + i\sinh\alpha\sin\beta \end{align*}}$

最初と最後の式の実部・虚部を比べると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} \cosh\alpha\cos\beta = 0 & \cdots (3)\\[2mm] \sinh\alpha\sin\beta = y & \cdots (4) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。　(3) 式が満たされるためには ${ \beta = \pm\frac{\pi}{2}}$ が満たされていればいいことが分かります。　それぞれの場合を見ていきましょう。

${ \beta = \frac{\pi}{2}}$ の場合、(4) 式より ${ \sinh\alpha = y }$ なので、 ${ \alpha = \sinh^{\small -1} y }$ 。
${ \beta = -\frac{\pi}{2}}$ の場合、(2) 式より ${ -\sinh\alpha = y }$ なので、 ${ \alpha = -\sinh^{\small -1} y }$ 。

よって ${\cosh^{\small -1} iy = \pm\left(\sinh^{\small -1} y + \dfrac{\pi i}{2}\right)}$ 。　分岐は ${\textrm{Re}\left(\cosh^{\small -1} z\right) \geqq 0}$ , ${-\pi < \textrm{Im}\left(\cosh^{\small -1} z\right) \leqq \pi}$ となるようにとって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{-1}iy = \begin{cases} \sinh^{\small -1}y + \dfrac{\pi i}{2} & (y \geqq 0) \\[2mm] -\sinh^{\small -1}y - \dfrac{\pi i}{2} & (y < 0) \end{cases} \end{align*}}$

となります。

【別導出】

上記の表式を『逆双曲線関数を対数関数で表す』で得た式から導いてみましょう。　ただし、逆余弦関数の場合は複素数 ${z}$ に対して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} z = \log\Big(z + \sqrt{z-1}\sqrt{z+1}\Big) \end{align*}}$

が成り立っているとします。　ここで複素数 ${z}$ の平方根 ${\sqrt{z}}$ は、 ${z}$ の偏角 ${\arg z}$ が ${-\pi < \arg z \leqq \pi}$ の範囲にあるとして、その値の ${1/2}$ を偏角とする（また絶対値が実数として正の平方根の値をとる）複素数とします。　 ${\sqrt{z} = |z|^{1/2} \exp\left[i\frac{\arg z}{2}\right]}$ 。　第1・2象限の複素数は第1象限の、第3・4象限の複素数は第4象限の複素数が対応します。

　引数が純虚数のとき、 ${y}$ を実数として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} iy = \log\Big(iy + \sqrt{iy-1}\sqrt{iy+1}\Big) \qquad \cdots(\textrm{i}) \end{align*}}$

となります。　以下、根号の中を考慮して ${y \geqq 0,\,y < 0}$ の場合に分けて見ていきましょう。

${y \geqq 0}$ の場合。　 ${\theta = \arg\left(1 + iy\right)\quad\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)}$ とおくと*2

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{iy-1}\sqrt{iy+1} &= \sqrt[4]{y^2 + 1} \;e^{i\frac{\pi - \theta}{2}} \cdot \sqrt[4]{y^2 + 1} \;e^{i\frac{\theta}{2}} \\ &= \sqrt{y^2 + 1} \; e^{i\pi/2} \\ &= i\sqrt{y^2 + 1} \end{align*}}$

よって (i) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} iy &= \log\left(iy + i\sqrt{y^2 + 1}\right) \\ &= \sinh^{\small -1} y + \frac{\pi i}{2} \end{align*}}$

${y < 0}$ の場合。　 ${\theta = \arg\left(1 - iy\right)\quad\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)}$ （正の角度に注意）とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sqrt{iy-1}\sqrt{iy+1} &= \sqrt[4]{y^2 + 1} \;e^{-i\frac{\pi - \theta}{2}} \cdot \sqrt[4]{y^2 + 1} \;e^{-i\frac{\theta}{2}} \\ &= \sqrt{y^2 + 1} \; e^{-i\pi/2} \\ &= -i\sqrt{y^2 + 1} \end{align*}}$

よって (i) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cosh^{\small -1} iy &= \log\left(iy - i\sqrt{y^2 + 1}\right) \\ &= \log\left(-y + \sqrt{y^2 + 1}\right) -\frac{\pi i}{2} \\ &= \sinh^{\small -1} (-y) - \frac{\pi i}{2} \\ &= -\sinh^{\small -1} y - \frac{\pi i}{2} \end{align*}}$

よって上記の結果が得られました。

逆正接関数・逆余接関数

まずは正接の場合。　公式 ${\tanh(ix) = i\tan x}$ で ${y = \tan x}$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \tanh\left(i\tan^{\small -1}y\right) = iy \\ \therefore\,\tanh^{\small -1}iy = i\tan^{\small -1}y \end{align*}}$

余接は正接の公式を使って導きましょう。　複素数 ${z}$ に対して ${\coth z = \frac{1}{\tanh z}}$ より ${\coth^{\small -1} z = \tanh^{\small -1} \left(\frac{1}{z}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \coth^{\small -1}iy &= \tanh^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= -i\tan^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \end{align*}}$

を得ます。

逆正割関数・逆余割関数

まずは正割。　 ${\textrm{sech} z= \frac{1}{\cosh z}}$ より ${\textrm{sech}^{\small -1} z = \cosh^{\small -1}\left(\frac{1}{z}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{sech}^{\small -1} iy &= \cosh^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= \cosh^{\small -1}\left(-\frac{i}{y}\right) \\ &= \begin{cases} \sinh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) - \dfrac{\pi i}{2} & (y \geqq 0) \\[2mm] -\sinh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (y < 0) \end{cases} \end{align*}}$

余割も同様。　 ${\textrm{csch}\, z = \frac{1}{\sinh z}}$ より ${\textrm{csch}^{\small -1} z = \sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{z}\right)}$ なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{csch}^{\small -1} iy &= \sinh^{\small -1}\left(\frac{1}{iy}\right) \\ &= -\sinh^{\small -1}\left(\frac{i}{y}\right) \\ &= \begin{cases} -\cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{y}\right) - \dfrac{\pi i}{2} & (0 < y < 1) \\[2mm] -i\sin^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \\[2mm] -\cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{y}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 < y < 0) \end{cases} \end{align*}}$

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sinh^{-1}iy &= \begin{cases} \cosh^{\small -1} y + \dfrac{\pi i}{2} & (y > 1) \\[2mm] i\sin^{\small -1}y & (-1 \leqq y \leqq 1) \\[2mm] \cosh^{\small -1} (-y) - \dfrac{\pi i}{2} & (y < -1) \end{cases} \\[2mm] \cosh^{-1}iy &= \begin{cases} \sinh^{\small -1}y + \dfrac{\pi i}{2} & (y \geqq 0) \\[2mm] -\sinh^{\small -1}y - \dfrac{\pi i}{2} & (y < 0) \end{cases} \\ \tanh^{\small -1}iy &= i\tan^{\small -1}y \\ \coth^{\small -1}iy &= -i\tan^{\small -1}\left(\frac{1}{y}\right) \\ \textrm{sech}^{\small -1}iy &= \begin{cases} \sinh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) - \dfrac{\pi i}{2} & (y \geqq 0) \\[2mm] -\sinh^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (y < 0) \end{cases} \\ \textrm{csch}^{\small -1}iy &= \begin{cases} -\cosh^{\small -1} \left(\dfrac{1}{y}\right) - \dfrac{\pi i}{2} & (0 < y < 1) \\[2mm] -i\sin^{\small -1}\left(\dfrac{1}{y}\right) & (y \leqq -1,\,1 \leqq y) \\[2mm] -\cosh^{\small -1} \left(-\dfrac{1}{y}\right) + \dfrac{\pi i}{2} & (-1 < y < 0) \end{cases} \end{align*}}$