ベッセルの微分方程式の解としてのノイマン関数

特殊関数の公式を証明していくシリーズ（目次）。　前回ベッセルの微分方程式の級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ ${ \nu }$ が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。　通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見ましたが少々天下り的な話でした。　今回はベッセルの微分方程式に関してフックスの定理からくる解（以下、フックス解）を導き、その解と前回定義したノイマン関数との関係を見ていきます。　フックス解関連の話は個人的興味でやっただけなので、前回定義したノイマン関数でパラメータ ${ \nu }$ を整数にする極限にだけ興味ある方は、後半だけ読めば充分だと思います。

数式が未だかつてないくらいゴチャゴチャしてますが、全てノイマン関数のせいです。

【この記事の内容】

ベッセルの微分方程式とベッセル関数
フックスの定理による他の基本解
- n = 0 の場合
- n ≧ 1 の場合
ノイマン関数
- フックス解との関係
まとめ
- 【修正】

ベッセルの微分方程式とベッセル関数

ベッセルの微分方程式は以下で与えられます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\frac{d}{dx}\right) + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\right]Z_n(x) = 0 \end{align*}}$

もしくは ${ x }$ 微分を ' で表して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_n''(x) + \frac{Z_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)Z_n(x) = 0 \end{align*}}$

基本解の1つは以下のベッセル関数で表されるのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} J_\nu(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\Gamma(p+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \end{align*}}$

フックスの定理による他の基本解

フックスの定理 (Fuchs' theorem) より、他の基本解は以下の形をしていることが知られています：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_n(x) = J_n(x)\ln x + \sum_{m=0}^\infty \xi_{n,m} x^{s+m} \end{align*}}$

ここで ${ J_n(x) }$ は上記で定義されたベッセル関数、 ${ s }$ はある実数、 ${ \ln x }$ は自然対数関数です。　 ${ s }$ は冪級数部分の最低次数を与えるので ${ \xi_{n,0} \ne 0 }$ です。

${ \xi_n(x) }$ が満たす微分方程式 ここではまず

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_n(x) = J_n(x)\ln x + \xi_n(x) \end{align*}}$

の形の解を仮定して ${ \xi_n(x) }$ が満たす微分方程式を求めてみましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_n'(x) &= J_n'(x)\ln x + \frac{J_n(x)}{x} + \xi_n'(x) \\[2mm] Z_n''(r) &= J_n''(x)\ln x + \frac{2J_n'(x)}{x} - \frac{J_n(x)}{x^2} + \xi_n''(x) \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &Z_n''(x) + \frac{Z_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)Z_n(x) \\ &\qquad= \left\{J_n''(x) + \frac{J_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)J_n(x)\right\}\ln x + \frac{2J_n'(x)}{x} \\ &\qquad\qquad+ \xi_n''(x) + \frac{\xi_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\xi_n(x) \end{align*}}$

右辺第1項の ${ \ln x }$ を含む項は ${ J_n(x) }$ がベッセルの微分方程式を満たすことから消える（！）ので、 ${ Z_n(x) }$ に対するベッセルの微分方程式は結局 ${ \xi_n(x) }$ についての微分方程式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi_n''(x) + \frac{\xi_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\xi_n(x) = -\frac{2J_n'(x)}{x} \end{align*}}$

となります。　左辺の ${ \xi_n(x) }$ にかかっている演算はベッセルの微分方程式のものと同じで（ ${ \xi_n(x) }$ の置き方から当然ですが）、右辺が0でなくなった形になっています。　対数を含む項がなくなっているのもミソですね。

${ \xi_n(x) }$ の級数解 上記の ${ \xi_n(x) }$ についての微分方程式に対して級数解を求めていきましょう。　まぁ、前回ベッセル関数を導いたときとやることは変わりませんが。　 ${ \xi_n(x) }$ の展開係数 ${ \xi_{n,m} }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi_n(x) = \sum_{m=0}^\infty \xi_{n,m} x^{s+m} \qquad \left(\xi_0^{(n)} \ne 0\right) \end{align*}}$

で定義すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\xi_n'(x)}{x} &= \sum_{m=0}^\infty (s+m)\xi_{n,m}x^{s+m-2} \\ \xi_n''(r) &= \sum_{m=0}^\infty (s+m)(s+m-1)\xi_{n,m}x^{s+m-2} \\ \xi_n(r) &= \sum_{m=0}^\infty \xi_{n,m-2}x^{s+m-2} \qquad (\textrm{ただし}\,\xi_{n,-2} = \xi_{n,-1} = 0 \,\textrm{とする})\\ \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\xi_n''(x) + \frac{\xi_n'(x)}{x} + \left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)\xi_n(x) \\ &\qquad= \sum_{m=0}^\infty \Big\{(s+m-n)(s+m+n)\xi_{n,m} + \xi_{n,m-2}\Big\}x^{s+m-2} \end{align*}}$

また、ベッセル関数の定義の級数より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -\frac{2J_n'(x)}{x} &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} x^{n+2p-2} \end{align*}}$

よってこれらが等しくなるとして（両辺に ${ x^2 }$ をかけて）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{m=0}^\infty \Big\{(s+m-n)(s+m+n)\xi_{n,m} + \xi_{n,m-2}\Big\}x^{s+m} &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} x^{n+2p} \end{align*}}$

を得ます。　これが満たされるためには、 ${ s }$ は整数でないといけないので、以降 ${ s }$ は整数とします。　また、右辺は ${ x }$ の次数に関して ${ n }$ と同じ偶奇のものしかないので、左辺の和で ${ m = 2\ell }$ の項だけを残して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\sum_{\ell=0}^\infty \Big\{(s+2\ell-n)(s+2\ell+n)\xi_{n,2\ell} + \xi_{n,2\ell-2}\Big\}x^{s+2\ell} \\[2mm] &\qquad= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} x^{n+2p} \qquad\cdots(*) \qquad \left(\xi_{n,-2} = 0\right) \end{align*}}$

とできます。

　 ${ n = 0 }$ の場合は ${ n \geqq 1 }$ の場合と少し異なる（簡単になる）ので、まずは ${ n=0 }$ の場合を別にやりましょう。

n = 0 の場合

(*) 式で ${ n = 0 }$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{(s+2\ell)^2\xi_{0,2\ell} + \xi_{0,2\ell-2}\Big\}x^{s+2\ell} &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} x^{2p} \end{align*}}$

左辺で ${ x }$ の最低次の項は ${ s^2\xi_{0,0}x^s }$ 。　また右辺で ${ x }$ の最低次の項は（ ${ p = 0 }$ の項は消えるので） ${ x^2 }$ 。　よって、 ${ s \leqq 1 }$ なら ${ s = 0 }$ となり ${ s \geqq 3 }$ だと不適なので、 ${ s = 0,\,2 }$ となりますが、これらは同じ結果を与えるようなので（あまりきちんと確かめてない ^^;)）、以下では ${ s = 0 }$ として ${ \xi_{0,2p} }$ を求めていきましょう。　 ${ s = 0 }$ のとき、上記の等式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{4\ell^2\xi_{0,2\ell} + \xi_{0,2\ell-2}\Big\}x^{2\ell} &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} x^{2p} \end{align*}}$

となるので、 ${ x }$ の各次数で係数が等しくなるためには

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} 4p^2\xi_{0,2p} + \xi_{0,2p-2} = \dfrac{(-1)^{p+1}p}{2^{2p-2}(p!)^2} \qquad (p \geqq 1) \end{align*}}$

両辺に ${ (-1)^{p+1}2^{2p-2}\{(p-1)!\}^2 }$ をかけて ${ a_p = (-1)^{p+1}2^{2p}(p!)^2\xi_{0,2p} }$ とおくと、 ${ a_p }$ の漸化式は簡単になって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_p - a_{p-1} = \frac{1}{p} \end{align*}}$

を得ます。　 ${ p \geqq 1 }$ のとき ${ a_p }$ の一般項は和の形で求まって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_p &= a_0 + \sum_{\ell= 1}^p \left(a_\ell - a_{\ell-1}\right) \\ &= a_0 + \sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell} \end{align*}}$

となるので、 ${ \xi_{0,2p} }$ が

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi_{0,2p} &= -\frac{(-1)^p}{2^{2p}(p!)^2} \left(a_0 + \Big[\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}\Big]_{p\ne 0}\right) \end{align*}}$

と求まります。　ただし、 ${ [x]_{p\ne0} }$ は ${ p \ne 0 }$ のとき ${ x }$ で、 ${ p = 0 }$ のとき0とします。　これを元の級数に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_0(x) &= J_0(x) \ln x - \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{2^{2p}(p!)^2} \left(a_0 + \Big[\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell}\Big]_{p\ne 0}\right) x^{2p} \\ &= J_0(x) \ln x - a_0J_0(x) - \sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p}{(p!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell} \end{align*}}$

となりますが、第2項のベッセル関数に比例する項は単独でベッセルの微分方程式の解なので、上式で ${ a_0 = 0 }$ としたものを ${ \mathcal{N}_0(x) }$ とおいて（これはノイマン関数ではありません）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{N}_0(x) = J_0(x) \ln x - \sum_{p=1}^\infty \frac{(-1)^p}{(p!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\sum_{\ell=1}^p\frac{1}{\ell} \end{align*}}$

がベッセルの微分方程式の解となります。

n ≧ 1 の場合

${ n \ne 0 }$ のとき、ベッセルの微分方程式は ${ x = 0 }$ が特異点となるので、ベッセル関数以外の解は ${ x = 0 }$ で発散するんじゃないかなぁということで（適当w） ${ s }$ が負であるとすると、(*) 式で左辺の最低次の項 ${ (s^2 - n^2) \xi_{n,0}\; x^{s-2} }$ と同次の項が右辺にないのと、 ${ \xi_{n,0} \ne 0 }$ から ${ s = -n }$ となります。　これを (*) 式に代入して

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{-2^2\ell(n - \ell)\xi_{n,2\ell} + \xi_{n,2\ell-2}\Big\}x^{-n+2\ell} &= \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p+1}(n+2p)}{2^{n+2p-1}p!(p+n)!} x^{n+2p} \end{align*}}$

両辺の ${ x }$ について同次の項を比べやすくするために、右辺の和の変数を ${ p }$ から ${ \ell = n+p \quad (p = \ell - n) }$ に変換すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{\ell=0}^\infty \Big\{-2^2\ell(n - \ell)\xi_{n,2\ell} + \xi_{n,2\ell-2}\Big\}x^{-n+2\ell} &= \sum_{\ell=n}^\infty \frac{(-1)^{\ell-n+1}(2\ell-n)}{2^{2\ell-n-1}(\ell-n)!\ell!} x^{-n+2\ell} \end{align*}}$

両辺の ${ x }$ の各次数の係数が等しくなることから

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \begin{cases} -2^2\ell(n - \ell)\xi_{n,2\ell} + \xi_{n,2\ell-2} = 0 \qquad (0 \leqq \ell \leqq n-1) & \cdots(1) \\[2mm] \xi_{n,2n-2} = -\dfrac{1}{2^{n-1}(n-1)!} & \cdots(2) \\[2mm] 2^2\ell(\ell - n)\xi_{n,2\ell} + \xi_{n,2\ell-2} = \dfrac{(-1)^{\ell-n+1}(2\ell-n)}{2^{2\ell-n-1}(\ell-n)!\ell!} \qquad (\ell \geqq n+1) & \cdots (3) \end{cases} \end{align*}}$

を得ます。

まず ${ 0 \leqq \ell \leqq n-1 }$ の範囲では、(1) 式を繰り返し使って ${ \xi_{n,2\ell} }$ を ${ \xi_{n,2n-2} }$ で表し、結果に (2) 式を使うと ${ \xi_{n,2\ell} }$ が求まります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi_{n,2\ell} &= 2^2 \cdot (\ell+1) \cdot (n-\ell-1)\xi_{n,2\ell+2} \\ &= 2^4 \cdot (\ell+1)(\ell+2) \cdot (n-\ell-1)(n-\ell-2)\xi_{n,2\ell+4} \\ &\qquad \vdots \\ &= 2^{2n-2\ell} \cdot \frac{(n-1)!}{\ell!} \cdot (n-\ell-1)!\;\xi_{n,2n-2} \\ &= -\frac{(n-\ell-1)!}{2^{-n+2\ell-1}\ell!} \qquad\cdots(4) \end{align*}}$

また ${ \ell \geqq n+1 }$ の範囲では、 ${ n=0 }$ の場合と同様にして ${ \xi_{n,2\ell} }$ が求められます。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_\ell = (-1)^{\ell-n+1}2^{2\ell-n+1}(\ell-n)!\;\ell!\;\xi_{n,2\ell} \end{align*}}$

とおけば、(3) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_\ell - a_{\ell-1} &= \frac{(2\ell-n)}{(\ell-n)\ell} \\ &= \frac{1}{\ell-n} + \frac{1}{\ell} \end{align*}}$

となるので、 ${ a = a_n }$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_\ell &= a + \sum_{k=n+1}^\ell(a_k - a_{k-1}) \\ &= a + \sum_{k=n+1}^\ell\left(\frac{1}{k-n} + \frac{1}{k}\right) \\ &= a + \sum_{k=1}^{\ell-n}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^\ell\frac{1}{k} \\[2mm] \therefore\,\xi_{n,2\ell} &= -\frac{(-1)^{\ell-n}}{2^{2\ell-n+1}\ell!(n - \ell)!} \left\{a + \left[\sum_{k=1}^{\ell-n}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^\ell\frac{1}{k}\right]_{\ell\ne n}\right\} \end{align*}}$

後のために添字の変数を ${ \ell }$ から ${ p = \ell - n \quad(\ell = n+p) }$ に変換すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi_{n,2n+2p} &= -\frac{(-1)^p}{2^{n+2p+1}p!(n + p)!} \left\{a + \left[\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right]_{p\ne 0}\right\} \qquad\cdots(5) \end{align*}}$

となります。

以上で展開係数 ${ \xi_{0,2p} }$ が求まったので、(4), (5) 式を元の級数に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Z_n(x) &= J_n(x) \ln x + \sum_{p=0}^{n-1} \xi_{n,2p} \; x^{-n+2p} + \sum_{p=0}^\infty \xi_{n,2n+2p} \; x^{n+2p} \\ &= J_n(x) \ln x - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^{n-1}\frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \\ &\qquad- a J_n(x) - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \\ \end{align*}}$

となります。　第3項はやはり必要ないので ${ a = 0 }$ としたものを ${ \mathcal{N}_n(x) }$ とおいて（ノイマン関数ではありません）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{N}_n(x) &= J_n(x) \ln x - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n}\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \\ &\qquad - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \end{align*}}$

がベッセルの微分方程式の解となります。　 ${ n=0 }$ の場合も合わせて書くと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{N}_n(x) &= J_n(x) \ln x - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^n\sum_{p=1}^\infty \left\{\frac{(-1)^p}{p!(n + p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left(\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k} + \sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{1}{k}\right)\right\} \\ &\qquad - \left[\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0} \end{align*}}$

となります。　ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [x]_{n\ne 0} = \begin{cases} x & (n\ne 0) \\ 0 & (n=0) \end{cases} \end{align*}}$

です。

ノイマン関数

前回少し触れたように、パラメータ ${ \nu }$ が整数でない場合、ノイマン関数 (Neumann function) ${ N_\nu(x) }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N_\nu(x) &= \frac{J_\nu(x) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(x)}{\sin \nu\pi} \end{align*}}$

で定義されます。　パラメータ ${ \nu }$ が整数 ${ n }$ の場合、分母・分子が0となるので、極限として定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N_n(x) = \lim_{\nu \rightarrow n}N_\nu(x) \end{align*}}$

この極限をロピタルの定理を使って評価すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \lim_{\nu \rightarrow n} N_\nu(x) &= \left[\frac{\frac{\partial}{\partial \nu}\left(J_\nu(x) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(x)\right)} {\frac{\partial}{\partial \nu}\left(\sin\nu\pi\right)}\right]_{\nu = n} \\[2mm] &= \left[\frac{\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu} \cos\nu\pi - \pi J_\nu(x) \sin\nu\pi - \frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}}{\pi \cos\nu\pi}\right]_{\nu = n} \\[2mm] &= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu} - (-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu = n} \qquad\cdots (6) \end{align*}}$

ここからは項別に見ていきましょう。　まずは第1項の ${ \left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu}\right]_{n=\nu} }$ から。　ベッセル関数の定義の級数より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} &= \left[\frac{\partial}{\partial \nu}\left\{ \left(\frac{x}{2}\right)^\nu\sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\;\Gamma(p+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\right\}\right]_{\nu=n} \\ &= J_n(x) \ln \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left[\frac{d}{d \nu}\frac{1}{\Gamma(p+\nu+1)}\right]_{\nu=n} \\ &= J_n(x) \ln \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left[\frac{d}{d \nu}\frac{1}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p+n+1} \\ &= J_n(x) \ln \frac{x}{2} - \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!\;\Gamma(p+n+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\psi(p+n+1) \qquad\cdots(7) \end{align*}}$

ただし、 ${ \psi(x) }$ はディ・ガンマ関数 (digamma function) で、ガンマ関数の対数微分として定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \psi(x) = \frac{d}{dx}\ln \Gamma(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} \end{align*}}$

上記の変形では

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\Gamma(x)}\right) = -\frac{\Gamma'(x)}{\left\{\Gamma(x)\right\}^2} = -\frac{\psi(x)}{\Gamma(x)} \end{align*}}$

を使いました。　ディ・ガンマ関数の正の整数での値は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \psi(n) = -\gamma + \Big[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\Big]_{n\ne 1} \qquad (n \ge 1) \end{align*}}$

となります。　ただし、 ${ \gamma }$ はオイラーの定数です（定義は最後のまとめの箇所参照）。

次は (6) 式の第2項 ${ \left[\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{n=\nu} }$ を計算していきます。　途中は第1項の計算とほとんど同じなので省略。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} &= -\left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu=-n} \\ &= -J_{-n}(x) \ln \frac{x}{2} + \left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left[\frac{\psi(\nu)}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1} \end{align*}}$

これをさらに項別に見ていきましょう。　第1項は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -J_{-n}(x) \ln \frac{x}{2} = (-1)^{n+1} J_n(x) \ln \frac{x}{2} \end{align*}}$

また、第2項では ${ \nu }$ に代入する ${ p-n+1 }$ が正になる場合と0以下になる場合とで分けて計算する必要があります。　正になる場合は (7) 式を出す際に行ったのと同じように計算できます。　一方、0以下の場合はディ・ガンマ関数の公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \lim_{\nu \rightarrow -n}\frac{\psi(\nu)}{\Gamma(\nu)} = (-1)^{n-1}n! \qquad (n \geqq 0) \end{align*}}$

を使って計算できます。　よって上式第2項で、 ${ p }$ についての和を ${ 0 \leqq p \leqq n-1 }$ と ${ p \geqq n }$ に分けて（ ${ n = 0 }$ の場合は1つ目はない）、和の部分だけを変形していくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(-1)^p}{p!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \left[\frac{\psi(\nu)}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1} \\ &\qquad=\sum_{p=0}^{n-1} \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\cdot(-1)^{n-p}(n-p-1)! \\ &\qquad= (-1)^n \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \\[4mm] &\sum_{p=n}^\infty \frac{(-1)^p}{p!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p} \left[\frac{\psi(\nu)}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p-n+1} \\ &\qquad= \sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{n+p'}}{(n+p')!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+2p'}\left[\frac{\psi(\nu)}{\Gamma(\nu)}\right]_{\nu=p'+1} \qquad (p' = p - n) \\ &\qquad= \left(\frac{x}{2}\right)^{2n} \sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{n+p'}}{(n+p')!\;\Gamma(p'+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p'}\psi(p'+1) \\ &\qquad= (-1)^n\left(\frac{x}{2}\right)^{2n} \sum_{p'=0}^\infty \frac{(-1)^{p'}}{(n+p')!p'!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p'}\psi(p'+1) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu=n} &= -(-1)^n\Big\{J_n(x) \ln \frac{x}{2} \\ &\qquad- \left[\left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne0} \\ &\qquad- \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p}}{p!(n+p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\psi(p+1) \qquad\cdots(8) \end{align*}}$

(6) 式に (7), (8) 式を代入すると、ノイマン関数の最終的な表式が得られて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N_n(x) &= \frac{1}{\pi}\left[\frac{\partial J_\nu(x)}{\partial \nu} - (-1)^n\frac{\partial J_{-\nu}(x)}{\partial \nu}\right]_{\nu = n} \\[2mm] &= \frac{2}{\pi}J_n(x) \left(\gamma + \ln \frac{x}{2}\right) \\ &\qquad- \frac{1}{\pi} \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^{p}}{p!(n+p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\left(\psi(p+1) + \psi(n+p+1)\right)\\ &\qquad- \left[\frac{1}{\pi}\left(\frac{x}{2}\right)^{-n} \sum_{p=0}^{n-1} \frac{(n-p-1)!}{p!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2p}\right]_{n\ne 0} \end{align*}}$

となります。

フックス解との関係

上記で得られたノイマン関数 ${ N_n(x) }$ は、前節で得られたフックス解 ${ \mathcal{N}_n(x) }$ とベッセル関数との線形結合で表すことができ、以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N_n(x) &= \frac{2}{\pi}\left\{J_n(x)\left(\gamma - \ln 2 - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\right) + \mathcal{N}_n(x)\right\} \end{align*}}$

ベッセル関数 ${ J_n(x) }$ にかかっている因子の中の和は、フックス解 ${ \mathcal{N}_n(x) }$ の第2項の和の中の2つ目の和の下限を合わせるために入れてあります。

まとめ

ベッセルの微分方程式のフックス解（一般に用いられるわけではない）

ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [x]_{n\ne 0} = \begin{cases} x & (n\ne 0) \\ 0 & (n=0) \end{cases} \end{align*}}$

ノイマン関数

パラメータ ${ \nu }$ が整数でない場合

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N_\nu(x) &= \frac{J_\nu(x) \cos\nu\pi - J_{-\nu}(x)}{\sin \nu\pi} \end{align*}}$

パラメータ ${ n }$ が整数の場合

ただし、 ${ J_n(x) }$ はベッセル関数、 ${ \gamma }$ はオイラーの定数、 ${ \psi(x) }$ はディ・ガンマ関数です：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \gamma &= \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln n\right) \fallingdotseq 0.57721 \\ \psi(n) &= -\gamma + \Big[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\Big]_{n\ne 1} \end{align*}}$