逆正弦関数・逆余弦関数の冪級数展開

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　今回は逆正弦関数と逆余弦関数の冪級数展開を見ていきます。　『逆正弦関数・逆余弦関数の高階導関数』で高階導関数を求めましたが、これを使って公式通りに冪級数展開を行うのはちょっと大変なので、別の方法で冪級数展開を求めます。

逆正弦関数・逆余弦関数の導関数は以下で与えられるのでした：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\sin^{-1}x)'&= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &&(-\tfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1}x \leqq \tfrac{\pi}{2})\\[2mm] (\cos^{-1}x)' &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} &&(0 \leqq \cos^{-1}x \leqq \pi) \end{align*}}$

参考

『Finding the power series of arcsin x』

逆正弦関数 ${ \sin^{-1}x }$ の冪級数展開

まず ${ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} }$ の冪級数展開を考えましょう。　 ${ f(x) }$ の ${ n }$ 階導関数 ${ f^{(n)}(x) }$ は簡単に計算できて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f^{(n)}(x) = \frac{(2n-1)!!}{2^n(1-x)^{n+\frac{1}{2}}} \end{align*}}$

となるので、 ${ f(x) }$ の冪級数展開は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f(x) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} x^n \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^n \end{align*}}$

と求まります。

この冪級数展開を使えば ${ (\sin^{-1}x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} }$ の冪級数展開が簡単に求まって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\sin^{-1}x)' &= f(x^2) \\[2mm] &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^{2n} \end{align*}}$

を得ます。　さらにこれを積分して ${ \sin^{-1}0 = 0 }$ を課せば

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{-1}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \end{align*}}$

となります。　最初の数項を書き下せば以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{-1}x &= x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \frac{35}{1152}x^9 + \cdots \end{align*}}$

逆余弦関数 ${ \cos^{-1}x }$ の冪級数展開

逆余弦関数の導関数は逆正弦関数の導関数に負符号を付けただけなので、 ${ \cos^{-1}0 = \frac{\pi}{2} }$ も使って

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos^{-1}x &= \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\[2mm] &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \frac{5}{112}x^7 - \frac{35}{1152}x^9 - \cdots \end{align*}}$

となります。

まとめ

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin^{-1}x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\[2mm] &= x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \frac{35}{1152}x^9 + \cdots \\[4mm] \cos^{-1}x &= \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad\left(= \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x\right) \\[2mm] &= \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \frac{5}{112}x^7 - \frac{35}{1152}x^9 - \cdots \end{align*}}$