三角関数の n 倍角の公式を導く～正弦編～

もう少し三角関数の公式シリーズ（目次）。　前回、余弦の ${ n }$ 倍角の公式を導きましたが、基本的には同じ方法で正弦の ${ n }$ 倍角の公式も導けます。　ただ、正弦の場合は ${ n }$ が偶数か奇数かによって結構式が異なるので少々面倒です。　とは言え、タイトルに「導く」と付けてるので結果だけ書くのはまずいでしょうから、前回の余弦の場合の導出を念頭に置きながら適宜式を書くくらいはしておきます。

${ n }$ 倍角と書いてますが、奇数と偶数で分けてやるので、奇数倍角、偶数倍角と呼ぶことにします。

【この記事の内容】

奇数倍角の公式
偶数倍角の公式
まとめ

奇数倍角の公式

${ \sin (2n+1)\theta,\,\frac{\cos (2n+1)\theta}{\cos\theta} }$ はそれぞれ ${ \sin\theta }$ の ${ 2n+1,\,2n }$ 次の多項式となり、それぞれの多項式の係数を ${ a_m^{(n)},\,b_m^{(n)} }$ とすると以下のように書けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin (2n+1)\theta &= \sum_{m=0}^n a_m^{(n)} \sin^{2m+1}\theta \\[2mm] \cos (2n+1)\theta &= \cos\theta \sum_{m=0}^n b_m^{(n)} \sin^{2m}\theta \end{align*}}$

ここでは前回と違って、 ${ \sin n\theta,\,\frac{\cos n\theta}{\cos\theta} }$ にはそれぞれ ${ \sin\theta }$ の奇数次、偶数次の項しか含まれないようにしています。　前回も同じようにすることはできましたが、奇数倍角と偶数倍角をまとめて書こうとすると和の上限にガウス記号を使わないといけなくなるのと、不必要な次数の項が消えることは ${ n }$ 倍角の公式の証明の際に簡単に示せることからやっていませんでした。

上記の級数で、特に ${ \sin\theta }$ の最高次の係数は以下を満たします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{n}^{(n)} = b_{n}^{(n)} = (-1)^n2^{2n} \end{align*}}$

これらの証明は数学的帰納法でできます（ここではしませんが）。

さて、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin (2n+1)\theta &= \sum_{m=0}^n a_m^{(n)} \sin^{2m+1}\theta \end{align*}}$

に関して、両辺を ${ \theta }$ で2回微分して、公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\sin^{2m+1}\theta)'' &= -(2m+1)^2\sin^{2m+1}\theta + 2m(2m+1)\sin^{2m-1}\theta \end{align*}}$

を用いると、多項式の係数 ${ a_m^{n} }$ についての漸化式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -2^2(n-m)(n+m+1) a_m^{(n)} = (2m+2)(2m+3) a_{m+1}^{(n)} \end{align*}}$

を得ます。　これを使って ${ a_{n-p}^{(n)} }$ を ${ a_n^{(n)} = (-1)^n2^{2n} }$ で表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_{n-p}^{(n)} &= \frac{(-1)^p(2n+1)}{2^{2p}(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;a_n^{(n)} \\ &= \frac{(-1)^{n-p}(2n+1)}{(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;2^{2n-2p} \end{align*}}$

となるので、結局（ ${ p = n - m }$ として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin (2n+1)\theta &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{n-p}(2n+1)}{2(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p+1} \end{align*}}$

を得ます。

余弦の奇数倍角の公式との関係

余弦の奇数倍角の公式は、前回導いた公式で ${ n \rightarrow 2n+1 }$ の置き換えをして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos (2n+1)\theta &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{p}(2n+1)}{2(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;\left(2\cos\theta\right)^{2n-2p+1} \end{align*}}$

となるので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} f_n(x) = \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{p}(2n+1)}{2(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;\left(2x\right)^{2n-2p+1} \end{align*}}$

とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos (2n+1)\theta &= f_n(\cos\theta) \\ \sin (2n+1)\theta &= (-1)^n f_n(\sin\theta) \end{align*}}$

となっていることが分かります。

具体的な式

${ n = 1 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 3\theta &= \sum_{p=0}^1 \frac{(-1)^{1-p}\cdot 3}{2(3-p)}\;{}_{3-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{3-2p} \\ &= -4\sin^3\theta + 3\sin\theta \end{align*}}$

${ n = 2 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 5\theta &= \sum_{p=0}^2 \frac{(-1)^{2-p}\cdot 5}{2(5-p)}\;{}_{5-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{5-2p} \\ &= 16\sin^5\theta - 20\sin^3\theta + 5\sin\theta \end{align*}}$

${ n = 3 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 7\theta &= \sum_{p=0}^3 \frac{(-1)^{3-p}\cdot 7}{2(7-p)}\;{}_{7-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{7-2p} \\ &= -64\sin^7\theta + 112\sin^5\theta - 56\sin^3\theta + 7\sin\theta \end{align*}}$

${ \sin\theta }$ の1次の項は ${ 2n+1 }$ になるようですね（公式で ${ p = n }$ の項の係数を計算するとたしかにそうなることが分かります）。

余弦の奇数倍角の公式

余弦の奇数倍角をなるべく ${ \sin\theta }$ を使って表す公式も同様に導けて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos (2n+1)\theta &= \cos\theta\sum_{p=0}^n (-1)^{n-p}\;{}_{2n-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p} \end{align*}}$

となります。　小さい ${ n }$ について式を具体的に書き下すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 3\theta &= \cos\theta\left(-4\sin^2\theta + 1\right) \\ \cos 5\theta &= \cos\theta\left(16\sin^4\theta - 12\sin^2\theta + 1\right) \\ \cos 7\theta &= \cos\theta\left(-64\sin^6 + 80\sin^4\theta - 24\sin^2\theta + 1\right) \end{align*}}$

${ \cos\theta }$ に比例する項（括弧内の定数項）は常に1になるようですね（公式で ${ p=n }$ の項を見ればたしかにそうなっています）。

偶数倍角の公式

${ \frac{\sin 2n\theta}{\cos\theta},\,\cos 2n\theta }$ はそれぞれ ${ \sin\theta }$ の ${ 2n-1,\,2n }$ 次の多項式となり、それぞれの多項式の係数を ${ \bar{a}_m^{(n)},\,\bar{b}_m^{(n)} }$ とすると以下のように書けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2n\theta &= \cos\theta \sum_{m=0}^{n-1} \bar{a}_m^{(n)} \sin^{2m+1}\theta \\[2mm] \cos 2n\theta &= \sum_{m=0}^n \bar{b}_m^{(n)} \sin^{2m}\theta \end{align*}}$

上記の級数で、特に ${ \sin\theta }$ の最高次の係数は以下を満たします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \bar{a}_{n-1}^{(n)} &= (-1)^{n-1}2^{2n-1}, & \bar{b}_{n}^{(n)} &= (-1)^n2^{2n-1} \end{align*}}$

さて、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2n\theta &= \cos\theta \sum_{m=0}^{n-1} \bar{a}_m^{(n)} \sin^{2m+1}\theta \end{align*}}$

に関して、両辺を ${ \theta }$ で2回微分して、公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\cos\theta\sin^{2m+1}\theta)'' &= \cos\theta\left\{-(2m+2)^2\sin^{2m+1}\theta + 2m(2m+1)\sin^{2m+1}\theta\right\} \end{align*}}$

を用いると、多項式の係数 ${ \bar{a}_m^{n} }$ についての漸化式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} -2^2(n-m-1)(n+m+1) \bar{a}_m^{(n)} = (2m+2)(2m+3) \bar{a}_{m+1}^{(n)} \end{align*}}$

を得ます。　これを使って ${ \bar{a}_{n-p-1}^{(n)} }$ を ${ \bar{a}_{n-1}^{(n)} = (-1)^{n-1}2^{2n-1} }$ で表すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \bar{a}_{n-p-1}^{(n)} &= \frac{(-1)^{n-p-1}}{2^{2(p-1)}}\;{}_{2n-p-1}C_p \;\bar{a}_{n-1}^{(n)} \\ &= (-1)^{n-p-1}\;{}_{2n-p-1}C_p \;2^{2n-2p-1} \end{align*}}$

となるので、結局（ ${ p = n-m-1 }$ として）

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2n\theta &= \cos\theta \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^{n-p-1}\;{}_{2n-p-1}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p-1} \end{align*}}$

を得ます。

前回導いた正弦の n 倍角の公式との関係

前回導いた ${ \sin n\theta }$ をなるべく ${ \cos\theta }$ を用いて表す公式で ${ n \rightarrow 2n }$ の置き換えをすると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2n\theta &= \sin\theta \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^{p}\;{}_{2n-p-1}C_p \;\left(2\cos\theta\right)^{2n-2p-1} \end{align*}}$

となるので、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} g_n(x,\,y) = x \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^{n-p-1}\;{}_{2n-p-1}C_p \;\left(2y\right)^{2n-2p-1} \end{align*}}$

とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2n\theta = g_n(\cos\theta,\,\sin\theta) = (-1)^{n-1}g_n(\sin\theta,\,\cos\theta) \end{align*}}$

となることが分かります。　つまり、 ${ \sin\theta }$ をなるべく使う公式と ${ \cos\theta }$ をなるべく使う公式は、符号因子 ${ (-1)^{n-1} }$ を除いて各次数の係数が同じになっていることが分かります。

具体的な式

${ n = 1 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 2\theta &= \cos\theta \sum_{p=0}^0 (-1)^{-p}\;{}_{1-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{1-2p} \\ &= 2\sin\theta\cos\theta \end{align*}}$

${ n = 2 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 4\theta &= \cos\theta \sum_{p=0}^1 (-1)^{1-p}\;{}_{3-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{3-2p} \\ &= \cos\theta\left(-8\sin^3\theta + 4\sin\theta\right) \end{align*}}$

${ n = 3 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin 6\theta &= \cos\theta \sum_{p=0}^2 (-1)^{2-p}\;{}_{5-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{5-2p} \\ &= \cos\theta\left(32\sin^5\theta - 32\sin^3\theta + 6\sin\theta\right) \end{align*}}$

${ \sin\theta\cos\theta }$ の項は ${ 2n }$ になるようですね（公式で ${ p = n-1 }$ の項の係数を計算するとたしかにそうなります）。

余弦の偶数倍角の公式

余弦の偶数倍角をなるべく ${ \sin\theta }$ を使って表す公式も同様に導けて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 2n\theta &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{n-p}n}{2n-p}\;{}_{2n-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p} \end{align*}}$

となります。　前回導いた余弦の ${ n }$ 倍角の公式（で ${ n \rightarrow 2n }$ としたもの）と比べると、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} h_n(x) &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^pn}{2n-p}\;{}_{2n-p}C_p \;\left(2x\right)^{2n-2p} \end{align*}}$

として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 2n\theta = h_n(\cos\theta) = (-1)^n h_n(\sin\theta) \end{align*}}$

という関係にあることが分かります。　小さい ${ n }$ について式を具体的に書き下すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \cos 2\theta &= -\sin^2\theta + 1 \\ \cos 4\theta &= 8\sin^4\theta - 8\sin^2\theta + 1 \\ \cos 6\theta &= -32\sin^6\theta + 48\sin^4\theta - 18\sin^2 + 1 \end{align*}}$

公式で ${ p=n }$ の項を考えれば定数項が1になることが分かります。

まとめ

今回導いた ${ n }$ 倍角の公式

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sin (2n+1)\theta &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{n-p}(2n+1)}{2(2n-p+1)}\;{}_{2n-p+1}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p+1} \\[2mm] \cos (2n+1)\theta &= \cos\theta\sum_{p=0}^n (-1)^{n-p}\;{}_{2n-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p} \\[2mm] \sin 2n\theta &= \cos\theta \sum_{p=0}^{n-1} (-1)^{n-p-1}\;{}_{2n-p-1}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p-1} \\[2mm] \cos 2n\theta &= \sum_{p=0}^n \frac{(-1)^{n-p}n}{2n-p}\;{}_{2n-p}C_p \;\left(2\sin\theta\right)^{2n-2p} \end{align*}}$