階乗を含む級数あれこれ - 倭算数理研究所

ちょっと、とある公式を導くために二項係数を含む級数をあれこれ考えてたんですが、どうも導き方がよく分からなかったので、階乗や二項係数を含む級数の公式を片っ端から導いてみます。　公式は『級数・フーリエ解析 (岩波数学公式 2)』に載ってるもの。　以前の記事『とある級数に対する双対性』で導いた級数の双対性：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n \Big\{f(r) - f(r+m)\Big\} = \sum_{r=1}^m\Big\{f(r) - f(r+n)\Big\} \end{align*} }$

で ${ m=1 }$ の場合のもの

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n \Big\{f(r) - f(r+1)\Big\} &= f(1) - f(n+1) & \cdots(1) \end{align*} }$

もしくは両辺に ${ -1 }$ をかけて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n \Big\{f(r+1) - f(r)\Big\} &= f(n+1) - f(1) &\cdots(2) \end{align*} }$

を使います。　また、二項係数 (binomial coefficient) もちょっと使います：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \binom{n}{r} = \,_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!r!} \end{align*} }$

数式を書いている ${ \TeX }$ の都合上、二項係数は高校数学で使う C ではない方の記法を使います。

公式あれこれ

んじゃー、いろいろ公式導いてくよー。　まずは普通の階乗を含むもの。　導出では級数から計算してますが、どちらかというと ${ f(x) }$ の形ありきで変形してます。

階乗

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n r! r &= 1!\cdot 1 + 2!\cdot 2 + \cdots + n!n \\ &= \sum_{r=1}^n r!\big\{(r+1)-1\big\} \\ &= \sum_{r=1}^n \Big\{(r+1)! - r!\Big\} \\ &= (n+1)! - 1 & \left(\because (2) \, \textrm{with} \, f(x) = x!\right) \\ \\ \sum_{r=1}^n \frac{r}{(r+1)!} &= \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} \\ &= \sum_{r=1}^n \frac{(r+1)-1}{(r+1)!} \\ &= \sum_{r=1}^n \left\{\frac{1}{r!} - \frac{1}{(r+1)!}\right\} \\ &=1 - \frac{1}{(n+1)!} & \left(\because (1) \; \textrm{with} \; f(x) = \frac{1}{x!}\right) \\ \\ \sum_{r=1}^n \frac{r^2+r-1}{(r+2)!} &= \sum_{r=1}^n \frac{r(r+2) - (r+1)}{(r+2)!} \\ &= \sum_{r=1}^n \left\{\frac{r}{(r+1)!} - \frac{r+1}{(r+2)!}\right\} \\ &= \frac{1}{2} - \frac{n+1}{(n+2)!} & \left(\because (1) \; \textrm{with} \; f(x) = \frac{x}{(x+1)!}\right) \\ \\ \sum_{r=1}^n \frac{r2^r}{(r+2)!} &= \sum_{r=1}^n \frac{(r+2)2^r - 2^{r+1}}{(r+2)!} \\ &= \sum_{r=1}^n \left\{\frac{2^r}{(r+1)!} - \frac{2^{r+1}}{(r+2)!}\right\} \\ &=1 - \frac{2^{n+1}}{(n+2)!} & \left(\because (1) \; \textrm{with} \; f(x) = \frac{2^x}{(x+1)!}\right) \end{align*} }$

二項係数・二項定理

次は二項係数を含むもの、もしくはそれに関係するもの：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n \binom{a+r-1}{r} &= \sum_{r=1}^n \frac{a(a+1)(a+2)\cdots(a+r-1)}{r!} \\ &= \sum_{r=1}^n \frac{(a+r-r)(a+1)(a+2)\cdots(a+r-1)}{r!} \\ &= {\scriptsize \sum_{r=1}^n \left\{\frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+r-1)(a+r)}{r!} - \frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+r-1)}{(r-1)!}\right\} }\\ &=\frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+n)}{n!} -1 \end{align*} }$

ただし、最後の行への変形では (2) 式を

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} f(x) = \begin{cases} 1 & (x = 1) \\ \frac{(a+1)(a+2)\cdots(a+x-1)}{(x-1)!} & (x \ne 1) \end{cases} \end{align*} }$

として使いました。

もう1つ二項係数（というか二項定理）に関係するもの：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=0}^n \frac{1}{(n-r)!r!} &= \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^n \frac{n!}{(n-r)!r!} \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \\ &= \frac{2^n}{n!} \end{align*} }$

ダブル・ファクトリアル

次は1つ飛ばしで掛けていく階乗、ダブル・ファクトリアル（日本語名、なんだっけ？）を含むもの。　ダブル・ファクトリアルの定義は以下の通り：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (2n)!! &= (2n)(2n-2)\cdots4\cdot2 \\ (2n-1)!! &= (2n-1)(2n-3)\cdots 3 \cdot 1\\ 0!! &= (-1)!! = 1 \end{align*} }$

では、ダブル・ファクトリアルを含む公式。　これも ${ f(x) }$ の形ありきで変形してます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sum_{r=1}^n \frac{r}{(2r+1)!!} &= \frac{1}{2} \sum_{r=1}^n\frac{(2r-1) - 1}{(2r-1)!!} \\ &= \frac{1}{2}\sum_{r=1}^n \left\{\frac{1}{(2r-3)!!} - \frac{1}{(2r-1)!!}\right\} \\ &= \frac{1}{2}\left\{1-\frac{1}{(2n+1)!!}\right\} \qquad \left(\because (1) \;\textrm{with}\; f(x) = \frac{1}{(2r-3)!!} \right) \\ \\ \sum_{r=1}^n \frac{(2r-1)!!}{(2r+2)!!} &= \sum_{r=1}^n \big\{(2r+2)-(2r+1)\big\}\frac{(2r-1)!!}{(2r+2)!!} \\ &= \sum_{r=1}^n \left\{\frac{(2r-1)!!}{(2r)!!} - \frac{(2r+1)!!}{(2r+2)!!}\right\} \\ &= \frac{1}{2}-\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} \qquad \left(\because (1) \;\textrm{with}\; f(x) = \frac{(2x-1)!!}{(2x)!!} \right) \end{align*} }$

本日導いた公式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} &\sum_{r=1}^n r! r = (n+1)! - 1 \\ &\sum_{r=1}^n\frac{r}{(r+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} \\ &\sum_{r=1}^n\frac{r^2+r-1}{(r+2)!} = \frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!} \\ &\sum_{r=1}^n\frac{r 2^r}{(r+2)!} = 1 - \frac{2^{n+1}}{(n+2)!} \\ &\sum_{r=1}^n\binom{a+r-1}{r} = \sum_{r=1}^n\frac{a(a+1)\cdots(a+r-1)}{r!} = \frac{a(a+1)\cdots(a+n)}{n!} - 1 \\ &\sum_{r=1}^n\frac{1}{r!(n-r)!} = \frac{2^n}{n!} \\ &\sum_{r=1}^n\frac{r}{(2r+1)!!} = \frac{1}{2}\left\{1 - \frac{1}{(2n+1)!!}\right\} \\ &\sum_{r=1}^n\frac{(2r-1)!!}{(2r+2)!!} = \frac{1}{2} - \frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!} \\ \end{align*} }$