commons-math 解読 (11) : 複素数 Complex

今回は複素数を表す Complex クラスを見ていきます。

クラス宣言
インスタンス生成
メソッド
定義済み定数
ちょっと数学を

クラス宣言

まずは Complex クラスのクラス宣言。　Complex は複素数体の元なので FieldElement インターフェースを実装しています。　ただし、複素数は順序を持たないため、Real クラスのように Comparable は実装していません：

package org.apache.commons.math.complex;

public class Complex implements FieldElement<Complex>, Serializable{
    ...
}

インスタンス生成

Complex クラスのインスタンスを取得するには主に以下の方法があります：

実部、虚部から　（コンストラクタによる生成）
極形式（絶対値と偏角）から　（ComplexUtils#polar2Complex() メソッドによる生成）
文字列（実部、虚部）から　（ComplexFormat クラスによる生成）

実部、虚部から

まずは実部と虚部を指定して Complex オブジェクトを取得する方法。　これは Complex クラスのコンストラクタを用います：

public class Complex{

    public Complex(double real, double imaginary){ ... }

    ...
}

使い方は通常のコンストラクタの方法で：

def c = new Complex(1d, 2d)    // 1 + 2i

極形式から

次は極形式、つまり絶対値と偏角から Complex オブジェクトを取得する方法。　これには ComplexUtils クラスの static メソッド polar2Complex() を使います。　

public class ComplexUtils{
    public static Complex polar2Complex(double r, double theta){...}
}

第1引数は生成する複素数の絶対値なので非負でなければなりません（負の数を指定すると例外が投げられます）。　また、第2引数は偏角ですが、これは弧度法（ラジアン）で指定する必要があります。　極形式についての簡単な説明はこの記事の最後で。　使い方はこんな感じ：

def c = new Complex(1d, Math.sqrt(3d))    // 1 + √3 i

// 実際には double の精度ではアサーションは通りませんが・・・
assert ComplexUtils.polar2Complex(2d, Math.PI/3d) == c  // 2exp(i π/3) = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))

文字列（実部、虚部）から

インスタンス生成の最後は文字列からの変換。　これには ComplexFormat クラスを使います：

def format1 = new ComplexFormat()
// def format1 = ComplexFormat.getInstance() でも可。
assert format1.parse('1 + 2i') == new Complex(1d, 2d)

def format2 = new ComplexFormat('j')
assert format2.parse('1 + 2j') == new Complex(1d, 2d)

虚数単位の文字指定（デフォルトは "i"）は ComplexFormat クラスのコンストラクタで指定できます。

定義済み定数

Complex クラスに static フィールドとして定義されている複素数には以下のものがあります：

定数名	値
ZERO	0.0 + 0.0i (= 0 )
ONE	1.0 + 0.0i (= 1)
I	0.0 + 1.0i (= i )
INF	+INF + INFi
NaN	NaN + NaNi

ZERO と ONE は（Field インターフェースの実装クラスである） ComplexField クラスから getZero(), getOne() メソッドによって取得できます。

ちょっと数学を

複素数の演算等を数式で書いておきましょう。　以下、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} z = x + yi \qquad(x,\,y \in \mathbf{R}) \end{align*} }$

とします。

極形式

複素数 ${ z }$ の絶対値 ${ r (= |z|) }$ と偏角 ${ \theta (= \arg(z)) }$ は以下のように表されます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} r = \left|z\right| = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \theta = \arg z = \tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right) \end{cases} \end{align*} }$

これを逆に解くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases} \end{align*} }$

となります。　ちなみに、極形式はオイラーの公式を使うと簡単に書き下せます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} z &= r\cos\theta + i\sin\theta \\ &= e^{i\theta} \end{align*} }$

四則演算

2つの複素数の四則演算は以下のように計算できます（ ${ a,\,b,\,c,\,d }$ は実数）

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} (a + bi) + (c + di) &= (a + c) + (b + d)i \\ (a + bi) - (c + di) &= (a - c) + (b - d)i \\ (a + bi) * (c + di) &= (ac - bd) + (ad + bc)i \\ (a + bi) \;/\; (c + di) &= \frac{a + bi}{c + di} \\ &= \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \\ &= \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} - \frac{ad - bc}{c^2 + d^2}i \end{align*} }$