『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.3

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise 2.3. Which states are superpositions with respect to the standard basis, and which are not? For each state that is a superposition, give a basis with respect to which it is not a superposition.

a. ${ |+\rangle }$

b. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) }$

c. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) }$

d. ${ \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle + \frac{1}{2}|-\rangle }$

e. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) }$

f. ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }$

補足

${ \textbf{i} }$ は虚数単位です。　また ${ |+\rangle,\,|-\rangle,\,|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle }$ は以下で定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |+\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) , & |-\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) \\ |\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + \textbf{i}|1\rangle\right) , & |-\textbf{i}\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - \textbf{i}|1\rangle\right) \end{align*}}$

${ \{|+\rangle,\,|-\rangle \},\,\{|\textbf{i}\rangle,\,|-\textbf{i}\rangle \} }$ はそれぞれ正規直交基底を成します。

a

${ |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) }$ より、これは重ね合わせ状態。　これに直交する状態は ${ |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }$

b

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle + |-\rangle\right) = |0\rangle \end{align*}}$

より、これは重ね合わせ状態ではない。

c

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle - |-\rangle\right) = |1\rangle \end{align*}}$

より、これは重ね合わせ状態ではない。

d

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2}|+\rangle - \frac{1}{2}|-\rangle = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}|0\rangle + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}|1\rangle \end{align*}}$

より、これは重ね合わせ状態。　直交する状態は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{2}|+\rangle +\frac{\sqrt{3}}{2}|-\rangle = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}|0\rangle - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}|1\rangle \end{align*}}$

e

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|\textbf{i}\rangle - |-\textbf{i}\rangle\right) = \textbf{i}|1\rangle \end{align*}}$

より、これは重ね合わせ状態ではない。

f

${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle - |1\rangle\right) }$ は重ね合わせ状態。　直交する状態は ${ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle + |1\rangle\right) }$ 。

倭算数理研究所

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『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.3

補足

a

b

c

d

e

f