倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

変形ベッセル関数の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回はベッセル関数の眷属である変形ベッセル関数。 定義と微分公式、パラメータ が半奇数の場合の式を見ていきます。これらの公式は基本的に『ベッセル関数の公式』で導いたものから容易に導くことができま…

被積分関数と積分区間に変数を持つ積分の微分

なんか Twitter の TL に流れてたけど、どうもその流れでの説明があってるのかどうかよく分からなかったので、きちんと計算してみる。問題 のとき を計算する。 は各変数で微分可能な任意関数。証明 を の に関する原始関数とする、つまり ただし、 は 積分…

ベッセルの微分方程式のロンスキアンとノイマン関数

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 今回はベッセルの微分方程式 のロンスキアン(『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~』参照)をベッセル関数の満たす公式から導きます。 ロンスキアンを微分方程式から…

特殊関数の公式を証明する記事の目次

特殊関数の公式を証明していく記事が増えていきそうなので目次記事を作っておきます。 一般論 『特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~』 ガンマ関数・ベータ関数 『とあるガンマ関数の公式目録』 『ガンマ関数とベータ関…

ベッセル関数(円柱関数)の公式あれこれ

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 以前の記事でベッセル関数や円柱関数の定義をみましたが、今回は後で使う(かも知れない)公式をいくつか導いていきます。 大半は微分の公式です。【この記事の内容】 定義 準備 1階微分 高階微分 シュレー…

特殊関数のための微分方程式論 Quick Start ~ロンスキアン・自己随伴化~

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 微分方程式論、特殊関数についてのこちらのサイトの「Lectures」下にある PDF のノートが簡潔で非常に分かりやすかったので、後で使いそうな事項を見繕って、計算を追いつつまとめてみました。 と言いつつ、…

ベッセルの微分方程式の解としてのノイマン関数

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 前回ベッセルの微分方程式の級数解としてベッセル関数を導きましたが、パラメータ が整数の場合はベッセル関数以外の解が存在します。 通常用いられるのはノイマン関数という関数で、前回は定義だけを見まし…

ベッセルの微分方程式とその級数解

特殊関数の公式を証明していくシリーズ(目次)。 中心力ポテンシャル系のシュレディンガー方程式を解く際に、動径方向の方程式として出てくるベッセルの微分方程式の級数解をガリガリ求めていきます。 解はベッセル関数と呼ばれる関数になります。 ベッセル…

三角関数の n 倍角の公式を導く ~正弦編~

前回、余弦の 倍角の公式を導きましたが、基本的には同じ方法で正弦の 倍角の公式も導けます。 ただ、正弦の場合は が偶数か奇数かによって結構式が異なるので少々面倒です。 とは言え、タイトルに「導く」と付けてるので結果だけ書くのはまずいでしょうから…

三角関数の n 倍角の公式を導く ~余弦編~

前回はド・モアブルの公式を使って三角関数の 倍角の公式を導きましたが、そこで導いた公式では が混在した式になっていました。 今回は別の方法で もしくは にもう少し統一された公式を導きます。 できうる限り を用いるかもしくは を用いるかで公式にいく…