ルンゲ=クッタ法を導く (3) ： 1次の場合

ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta) 法を導くシリーズ（目次）。　前回得られた「問題設定」を ${ s=1 }$ の場合で具体的にやってみましょう。　これは「オイラー法」になるはずです。

満たすべき条件式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1\left[k_1\right]_{h=0} &= f(x_n,\,y_n) \\[2mm] k_1 &= f(x_n,\,y_n) \end{align*}}$

となります。

第1式を第2式に代入して ${ k_i }$ を消去すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 f(x_n,\,y_n) = f(x_n,\,y_n) \end{align*}}$

となり、これを満たすという条件から

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 = 1 \end{align*}}$

が得られます。

これを元々のルンゲ=クッタ法の式に代入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} y_{n+1} = y_n + hf(x_n,\,y_n) \end{align*}}$

となり、確かに「オイラー法」の式が再現されました。

倭算数理研究所