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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ルンゲ=クッタ法を導く (3) : 1次の場合

ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta) 法を導くシリーズ(目次)。 前回得られた「問題設定」を { s=1 } の場合で具体的にやってみましょう。 これは「オイラー法」になるはずです。

条件式

満たすべき条件式は

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_1\left[k_1\right]_{h=0} &= f(x_n,\,y_n) \\[2mm]
    k_1 &= f(x_n,\,y_n)
\end{align*}}

となります。

係数を定める

第1式を第2式に代入して { k_i } を消去すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_1 f(x_n,\,y_n) = f(x_n,\,y_n)
\end{align*}}

となり、これを満たすという条件から

  { \displaystyle\begin{align*}
    a_1 = 1
\end{align*}}

が得られます。

{ y_{n+1} } の計算式

これを元々の ルンゲ=クッタ法の式に代入すると

  { \displaystyle\begin{align*}
    y_{n+1} = y_n + hf(x_n,\,y_n)
\end{align*}}

となり、確かに「オイラー法」の式が再現されました。

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