ルンゲ=クッタ法を導く (6) ： 4次の場合

ルンゲ=クッタ (Runge-Kutta) 法を導くシリーズ（目次）。　今回は4次のルンゲ=クッタ法。　「問題設定」の ${ s=4 }$ の場合。

満たすべき関係式

満たすべき関係式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{i=1}^4 a_i\left[k_i\right]_{h=0} &= f(x_n,\,y_n) & \cdots (1) \\ \sum_{i=1}^4 a_i\left[\frac{dk_i}{dh}\right]_{h=0} &= \frac{1}{2}\frac{df}{dx}(x_n,\,y_n) & \cdots (2) \\ \sum_{i=1}^4 a_i\left[\frac{d^2k_i}{dh^2}\right]_{h=0} &= \frac{1}{3}\frac{d^2f}{dx^2}(x_n,\,y_n) & \cdots (3) \\ \sum_{i=1}^4 a_i\left[\frac{d^3k_i}{dh^3}\right]_{h=0} &= \frac{1}{4}\frac{d^3f}{dx^3}(x_n,\,y_n) & \cdots (4) \end{align*}}$

ここで

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} k_1 &= f(x_n,\,y_n) \\ k_i &= f(x_n+c_ih,\,y_n+c_ihk_{i-1}) & (i = 2,\,3,\,4) \end{align*} }$

です。

(1) ～ (3) 式

s = 3 の場合と同様にして、(1) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 \end{align*}}$

(2) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_2c_2 + a_3c_3 + a_4c_4= \tfrac{1}{2} \end{align*}}$

(3) 式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_2c_2^2 + a_3c_3^2 + a_4c_4^2 &= \tfrac{1}{3} \\ 2\left(a_3c_3c_2 + a_4c_4c_3\right) &= \tfrac{1}{3} \end{align*}}$

(4) 式： ${ k }$ の3階微分の関係式

${ k_1 }$ の微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^3k_1}{dh^3}\right]_{h=0} = 0 \end{align*}}$

${ k_i }$ の微分

${ i \ge 2 }$ の場合。　長くなるので、所々引数を省略しています：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^3k_i}{dh^3}\right]_{h=0} &= c_i^3\left(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3 \right) \\ &\qquad + 6c_i^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f\right)\left[\frac{dk_{i-1}}{dh}\right]_{h=0} + 3c_i\frac{\partial f}{\partial y}\left[\frac{d^2k_{i-1}}{dh^2}\right]_{h=0} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^3k_2}{dh^3}\right]_{h=0} = c_2^3\left(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3\right) \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^3k_3}{dh^3}\right]_{h=0} &= c_3^3\left(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3 \right) \\ &\qquad + 6c_3^2c_2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f\right)\frac{df}{dx} \\ &\qquad + 3c_3c_2^2\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right) \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[\frac{d^3k_4}{dh^3}\right]_{h=0} &= c_4^3\left(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3 \right) \\ &\qquad + 6c_4^2c_3\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f\right)\frac{df}{dx} \\ &\qquad + 3c_4c_3^2\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2\right)\\ &\qquad + 6c_4c_3c_2\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\frac{df}{dx} \end{align*}}$

${ f(x,\,y) }$ の3階微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^3f}{dx^3} &= \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3 \\ &\qquad + 3\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f\right)\frac{df}{dx} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{d^2f}{dx^2} \\ &= \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y}f + 3\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2}f^2 + \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}f^3 \\ &\qquad + 3\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f\right)\frac{df}{dx} \\ &\qquad + \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}f + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}f^2 + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{df}{dx}\right) \end{align*}}$

得られる関係式

上記で得られた関係を (4) 式に代入すると次式が得られます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} a_2c_2^3 + a_3c_3^3 + a_4c_4^3 &= \tfrac{1}{4} \\ 2\left(a_3c_3^2c_2 + a_4c_4^2c_3\right) &= \tfrac{1}{4} \\ 3\left(a_3c_3c_2^2 + a_4c_4c_3^2\right) &= \tfrac{1}{4} \\ 6a_4c_4c_3c_2 &= \tfrac{1}{4} \end{align*}}$

${ a,\,c }$ の値

${ a,\,c }$ が満たすべき関係式をまとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 &= 1 \\[2mm] a_2c_2 + a_3c_3 + a_4c_4 &= \tfrac{1}{2} \\[2mm] a_2c_2^2 + a_3c_3^2 + a_4c_4^2 &= \tfrac{1}{3} \\[2mm] 2\left(a_3c_3c_2 + a_4c_4c_3\right) &= \tfrac{1}{3} \\[2mm] a_2c_2^3 + a_3c_3^3 + a_4c_4^3 &= \tfrac{1}{4} \\[2mm] 2\left(a_3c_3^2c_2 + a_4c_4^2c_3\right) &= \tfrac{1}{4} \\[2mm] 3\left(a_3c_3c_2^2 + a_4c_4c_3^2\right) &= \tfrac{1}{4} \\[2mm] 6a_4c_4c_3c_2 &= \tfrac{1}{4} \end{align*}}$

これらを解いて ${ a,\,c }$ の値を求めなければいけませんが、かなり面倒なので、上記の関係式を満たす特別な ${ a,\,c }$ の値を与えるだけでヨシとしましょう*1：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a_1 &= a_4 = \tfrac{1}{6}, & a_2 &= a_3 = \tfrac{1}{3} \\[2mm] c_2 &= c_3 = \tfrac{1}{2}, & c_4 &= 1 \end{align*}}$

よって、この場合の ${ y_{n+1} }$ の表式は以下のようになります：

4次のルンゲ=クッタ法：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &y_{n+1} = y_n + \tfrac{1}{6}h\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right) \\[4mm] &\begin{cases} k_1 = f(x_n,\,y_n) \\[2mm] k_2 = f(x_n + \tfrac{1}{2}h,\,y_n + \tfrac{1}{2}hk_1) \\[2mm] k_3 = f(x_n + \tfrac{1}{2}h,\,y_n + \tfrac{1}{2}hk_2) \\[2mm] k_4 = f(x_n + h,\,y_n + hk_3) \end{cases} \end{align*}}$