読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く 2.13

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

目次はこちら

Exercise 2.13.Relate the four parametrizations of the state space of a single qubit to each other: Give formulas for

  • a. vectors in ket notation
  • b. elements of the extended complex plane
  • c. spherical coordinates for the Bloch sphere (see exercise 2.12)

in terms of the  { x,\,y } and  { z } coordinates of the Bloch sphere.

a.
ブロッホ球面上の点  { (x,\,y,\,z) } は、この球面をパラメータ化する角度  { \theta,\,\phi } を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    x = \sin\theta\cos\phi \\
    y = \sin\theta\sin\phi \\
    z = \cos\theta
  \end{cases}
\end{align*}}

と表されます。 また、前問より2状態系のケットベクトル  { |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle } { \theta,\,\phi } を用いて

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle = \cos\tfrac{\theta}{2}|0\rangle + e^{\textbf{i}\phi}\sin\tfrac{\theta}{2}|1\rangle
\end{align*}}

と表されていました。 ここで、 { |\psi\rangle } の係数について( { \theta \ne \pi } のとき)

  { \displaystyle\begin{align*}
  \cos\tfrac{\theta}{2}
    &= \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} \qquad\left(\because \cos\tfrac{\theta}{2} > 0\right)\\
    &= \sqrt{\frac{1+z}{2}} \\[2mm]
  \sin\tfrac{\theta}{2}
    &= \sqrt{\frac{1-z}{2}} \\[2mm]
  e^{\textbf{i}\phi}
    &= \cos\phi + \textbf{i}\sin\phi \\
    &= \frac{x + \textbf{i}y}{\sin\theta} \\
    &=\frac{x + \textbf{i}y}{2\sin\tfrac{\theta}{2}\cos\tfrac{\theta}{2}} \\
    &= \frac{x+\textbf{i}y}{\sqrt{1-z^2}}
\end{align*}}

なので

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle
    &= \sqrt{\frac{1+z}{2}} |0\rangle + \frac{x+\textbf{i}y}{\sqrt{1-z^2}}\sqrt{\frac{1-z}{2}} |1\rangle \\
    &= \sqrt{\frac{1+z}{2}} |0\rangle + \frac{x+\textbf{i}y}{\sqrt{2(1+z)}} |1\rangle \\
    &= \frac{1}{\sqrt{2(1+z)}}\Big((1+z)|0\rangle + (x+\textbf{i}y)|1\rangle\Big)
\end{align*}}

を得ます。 この表式は、 { \theta = 0 } の場合は簡単な計算で  { |\psi\rangle = |0\rangle } となることが分かります。 また、 { \theta = \pi } の場合は  { x^2 + y^2 + z^2 = 1 } を使うと、大域位相を除いて  { |\psi\rangle = |1\rangle } となることが確かめられます。

b.
ブロッホ球面と拡張された複素平面との間のマッピングは、球面上の点に対して、その点と点  { (0,\,0,\,1) } を通る直線が複素平面と交わる点を対応させます。 ただし、点  { (0,\,0,\,1) } 自体は無限遠 { \infty } に対応させます。

ブロッホ球面上の点  { (x,\,y,\,z) } と 点  { (0,\,0,\,1) } の2点を通る直線上の点 P の位置ベクトル  { \textbf{r} } { \xi } をパラメータとして

  { \displaystyle\begin{align*}
  \textbf{r} 
    &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \xi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z-1 \end{pmatrix}
    = \begin{pmatrix} \xi x \\ \xi y \\ \xi (z-1) + 1 \end{pmatrix}
\end{align*}}

となるので、この直線と複素平面との交点を  { s + \textbf{i}t } とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    \xi x = s & \cdots (1) \\
    \xi y = t & \cdots (2) \\
    \xi (z-1) + 1 = 0 & \cdots (3)
  \end{cases}
\end{align*}}

を得ます。 (3) 式より  { \xi = \frac{1}{1-z} } なので、(1), (2) 式に代入して

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    s = \dfrac{x}{1-z} \\[2mm]
    t = \dfrac{y}{1-z}
  \end{cases}
\end{align*}}

よって、対応する複素平面上の点は  { \dfrac{x + \textbf{i}y}{1-z} } となります。

c.
小問 a の最初に与えた関係式より

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    \theta = \cos^{-1} z \\[2mm]
    \phi = \tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)
  \end{cases}
\end{align*}}