Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)
- 作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
- 出版社/メーカー: The MIT Press
- 発売日: 2011/03/04
- メディア: Kindle版
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Exercise 2.13.Relate the four parametrizations of the state space of a single qubit to each other: Give formulas for
- a. vectors in ket notation
- b. elements of the extended complex plane
- c. spherical coordinates for the Bloch sphere (see exercise 2.12)
in terms of the and coordinates of the Bloch sphere.
a.
ブロッホ球面上の点 は、この球面をパラメータ化する角度 を用いて
と表されます。 また、前問より2状態系のケットベクトル は を用いて
と表されていました。 ここで、 の係数について( のとき)
なので
を得ます。 この表式は、 の場合は簡単な計算で となることが分かります。 また、 の場合は を使うと、大域位相を除いて となることが確かめられます。
b.
ブロッホ球面と拡張された複素平面との間のマッピングは、球面上の点に対して、その点と点 を通る直線が複素平面と交わる点を対応させます。 ただし、点 自体は無限遠点 に対応させます。ブロッホ球面上の点 と 点 の2点を通る直線上の点 P の位置ベクトル は をパラメータとして
となるので、この直線と複素平面との交点を とおくと
を得ます。 (3) 式より なので、(1), (2) 式に代入して
よって、対応する複素平面上の点は となります。
c.
小問 a の最初に与えた関係式より