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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

量子ビットの測定についての計算メモ(1, 2 個の場合)

この記事では、1 qubit 系の一般的な正規直交基底  { \{|\theta\rangle,\,|\theta^\perp\rangle\} }、ただし

  { \displaystyle\begin{align*}
  \begin{cases}
    |\theta\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle \\[2mm]
    |\theta^\perp\rangle = \bar{b}|0\rangle - \bar{a}|1\rangle
  \end{cases}
  \qquad \left(|a|^2 + |b|^2 = 1\right)
\end{align*}}

を用いて n-qubit 系の中の1つの qubit を測定したときに、得られる状態とその確率を計算します。

この正規直交基底は、 { a = 1,\,b = 0 } のとき標準基底  { \{|0\rangle,\,|1\rangle\} } { a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} } のときアダマール基底に対応します。

ちなみに、状態のラベルの  { \theta }ブロッホ球面の角度とは何の関係もありません。

1-qubit 系

まずは 1-qubit 系に対してやってみましょう。 測定前の系の状態が

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle = c_0|0\rangle + c_1|1\rangle \qquad\left(|c_0|^2 + |c_1|^2 = 1\right)
\end{align*}}

であったとして、この状態を基底  { \{|\theta\rangle,\,|\theta^\perp\rangle\} } で測定したときに状態  { |\theta\rangle } が得られる確率は、この状態への射影演算子

  { \displaystyle\begin{align*}
  P = |\theta\rangle\langle\theta|
\end{align*}}

を用いて、 { \left|P|\psi\rangle\right|^2 } で得られます。  { P|\psi\rangle } を計算すると

  { \displaystyle\begin{align*}
  P|\psi\rangle
    &= |\theta\rangle \langle\theta|\psi\rangle \\
    &= \left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right)|\theta\rangle
\end{align*}}

となるので、求める確率は  { \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right|^2 } となります。

同様の計算を  { |\theta^\perp\rangle } の場合に行うと、この状態への射影演算子 { P^\perp = |\theta^\perp\rangle\langle\theta^\perp| } として

  { \displaystyle\begin{align*}
  P^\perp|\psi\rangle 
    &= \left(bc_0 - ac_1\right)|\theta^\perp\rangle
\end{align*}}

となるので、求める確率は  { |bc_0 - ac_1|^2 } となります。

結果をまとめると

  •  { \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_1\right|^2 } の確率で  { |\theta\rangle } を得る
  •  { \left|bc_0 - ac_1\right|^2 } の確率で  { |\theta^\perp\rangle } を得る

標準基底での測定
 { a = 1,\,b = 0 } より

  •  { |c_0|^2 } の確率で  { |0\rangle }
  •  { |c_1|^2 } の確率で  { |1\rangle }

アダマール基底での測定
 { a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} } より

  •  { \left|\frac{c_0+c_1}{\sqrt{2}}\right|^2 } の確率で  { |+\rangle }
  •  { \left|\frac{c_0-c_1}{\sqrt{2}}\right|^2 } の確率で  { |-\rangle }


2-qubit 系

次は 2-qubit 系。 規格化された状態

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi\rangle = c_0|00\rangle + c_1|01\rangle + c_2|10\rangle + c_3|11\rangle \qquad
  \left(\sum_{i=0}^3 |c_i|^2 = 1\right)
\end{align*}}

の0番目の Qubit を基底  { \{|\theta\rangle_0,\,|\theta^\perp\rangle_0\} } で測定するとします。 0番目の qubit を状態  { |\theta\rangle } への射影する射影演算子  { P_0 } は( { I_1 } を1番目の qubit に対する恒等演算子として)

  { \displaystyle\begin{align*}
  P_0 = |\theta\rangle_0{}_0\langle\theta| \otimes I_1
\end{align*}}

となります。 これを  { |\psi\rangle } に作用させて

  { \displaystyle\begin{align*}
  P_0|\psi\rangle
    &= \left(|\theta\rangle_0{}_0\langle\theta|\otimes I_1\right)
      \left(c_0|00\rangle + c_1|01\rangle + c_2|10\rangle + c_3|11\rangle\right) \\
    &= \bar{a}c_0|\theta0\rangle + \bar{a}c_1|\theta1\rangle + \bar{b}c_2|\theta0\rangle + \bar{b}c_3|\theta1\rangle \qquad
      \left(\because {}_0\langle\theta|0\rangle_0 = \bar{a},\,{}_0\langle\theta|1\rangle_0 = \bar{b}\right) \\
    &= \left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|\theta0\rangle + \left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|\theta1\rangle
\end{align*}}

よって、求める確率を  { p_0 } とすると

  { \displaystyle\begin{align*}
  p_0
    &= |P_0|\psi\rangle|^2 \\
    &= \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right|^2 + \left|\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right|^2
\end{align*}}

となります。 測定後の系全体の状態は、 { P|\psi\rangle } を規格化したものなので、これを  { |\psi_0\rangle } とおくと

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0\rangle
    &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}P_0|\psi\rangle \\
    &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\Big\{\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|\theta0\rangle
      + \left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|\theta1\rangle\Big\}
\end{align*}}

標準基底で表せば

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0\rangle
    &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\Big\{
      a\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|00\rangle
      + a\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|01\rangle \\
      &\qquad\qquad + b\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|10\rangle
      + b\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|11\rangle\Big\}
\end{align*}}

となります。

同様にして、0番目の qubit を測定して  { |\theta^\perp\rangle } を得る確率  { p_0^\perp }と、測定後の系全体の状態  { |\psi_0^\perp\rangle }

  { \displaystyle\begin{align*}
  p_0^\perp &= \left|bc_0 - ac_2\right|^2 + \left|bc_1 - ac_3\right|^2 \quad (= 1-p_0) \\[2mm]
  |\psi_0^\perp\rangle
    &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{\left(bc_0 - ac_2\right)|\theta^\perp 0\rangle
      + \left(bc_1 - ac_3\right)|\theta^\perp 1\rangle\Big\} \\
    &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{
     \bar{b}\left(bc_0 - ac_2\right)|00\rangle
      + \bar{b}\left(bc_1 - ac_3\right)|01\rangle \\
      &\qquad\qquad -\bar{a}\left(bc_0 -ac_2\right)|10\rangle
      - \bar{a}\left(bc_1 - ac_3\right)|11\rangle\Big\}
\end{align*}}

となります( { (a,\,b) \mapsto (\bar{b},\,-\bar{a}) } の置き換えをしても得られます)。

まとめると

  •  { p_0 = \left|\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right|^2 + \left|\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right|^2 } の確率で状態  { |\theta\rangle } を得、測定後の系全体の状態は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0\rangle
    &= \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\Big\{
      a\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|00\rangle
      + a\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|01\rangle \\
      &\qquad\qquad + b\left(\bar{a}c_0 + \bar{b}c_2\right)|10\rangle
      + b\left(\bar{a}c_1 + \bar{b}c_3\right)|11\rangle\Big\}
\end{align*}}

  •  { p_0^\perp = \left|bc_0 - ac_2\right|^2 + \left|bc_1 - ac_3\right|^2 (=1-p_0) } の確率で状態  { |\theta^\perp\rangle } を得、測定後の系全体の状態は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0^\perp\rangle
    &= \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\Big\{
     \bar{b}\left(bc_0 - ac_2\right)|00\rangle
      + \bar{b}\left(bc_1 - ac_3\right)|01\rangle \\
      &\qquad\qquad -\bar{a}\left(bc_0 -ac_2\right)|10\rangle
      - \bar{a}\left(bc_1 - ac_3\right)|11\rangle\Big\}
\end{align*}}

となります。

標準基底での測定
 { a = 1,\,b = 0 } より

  •  { p_0 = \left|c_0\right|^2 + \left|c_1\right|^2 } の確率で  { |0\rangle } を得、測定後の系全体の状態は  { \tfrac{1}{\sqrt{p_0}}\left(c_0|00\rangle + c_1|01\rangle\right) } となる。
  •  { p_0^\perp = \left|c_2\right|^2 + \left|c_3\right|^2 (= 1-p_0) } の確率で  { |1\rangle } を得、測定後の系全体の状態は  { \tfrac{1}{\sqrt{1-p_0}}\left(c_2|10\rangle + c_3|11\rangle\right) } となる。

アダマール基底での測定
 { a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} } より

  •  { p_0 = \left|\frac{c_0+c_2}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{c_1+c_3}{\sqrt{2}}\right|^2 } の確率で  { |+\rangle } を得、測定後の系全体の状態は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0\rangle
    &= \tfrac{1}{2\sqrt{p_0}}\Big\{(c_0 + c_2)|00\rangle + (c_1 + c_3)|01\rangle
      + (c_0 + c_2)|10\rangle + (c_1 + c_3)|11\rangle \Big\}
\end{align*}}

  •  { p_0^\perp = \left|\frac{c_0-c_2}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{c_1-c_3}{\sqrt{2}}\right|^2 (= 1-p_0) } の確率で状態  { |-\rangle } を得、測定後の系全体の状態は

  { \displaystyle\begin{align*}
  |\psi_0^\perp\rangle
    &= \tfrac{1}{2\sqrt{1-p_0}}\Big\{(c_0 - c_2)|00\rangle + (c_1 - c_3)|01\rangle
      - (c_0 - c_2)|10\rangle - (c_1 - c_3)|11\rangle \Big\}
\end{align*}}

1番目の qubit を測定する場合の結果は、0番目の qubit を測定する場合の結果で  { c_1, c_2 } を入れ替えれば得られます。

n-qubit 系をやりたかったのですが、思ったより長くなったので今回はこの辺で。

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