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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

ほむらに葬られなかった問題 その2

魔法少女まどか☆マギカ #10 より。

【問題】

 { p }素数 { n } は任意の自然数とします。

   { (1+n)^p - n^p - 1 }

{ p } で割り切れることを証明してください。

【解答】

二項定理より

  { \displaystyle (1+n)^p = \sum_{r=0}^p{}_pC_r 1^{p-r}n^r = \sum_{r=0}^p{}_pC_r n^r }

なので

  { \displaystyle (1+n)^p -n^p -1 = \sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r }

ここで  { {}_pC_r } (ただし  { 1 \leqq r \leqq p-1 })が  { p } の倍数であることを示す。

  { \displaystyle {}_pC_r = \frac{p!}{(p-r)!r!} = p\cdot\frac{(p-1)!}{(p-r)!r!} }

 { p }素数なので { (p-r)!r! } (ただし { 1 \leqq r \leqq p-1 })は素因数に { p } を含まない。 一方 { {}_pC_r }自然数なので、結局

  { \displaystyle \frac{(p-1)!}{(p-r)!r!} }

自然数であることが分かる。 つまり { {}_pC_r } (ただし { 1 \leqq r \leqq p-1 })は  { p } の倍数。

{ {}_pC_r } ({ 1 \leqq r \leqq p-1 }) は  { p } の倍数であり、{ n^r } ({ 1 \leqq r \leqq p-1 })が自然数なので

  { \displaystyle \sum_{r=1}^{p-1}{}_pC_r n^r }

 { p } の倍数となる。 したがって

  { \displaystyle (1+n)^p -n^p -1 }

 { p } で割り切れる。