倭算数理研究所

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ほむらに葬られなかった問題　その1

高校数学 サブカルチャ

魔法少女まどか☆マギカ #10 より。

【問題】

　{ \displaystyle f(x) = \frac{4x + \sqrt{4x^2-1}}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1}} }

とします。　{ f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots +f(60) } を計算してください。

【解答】

　　{ \displaystyle \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x-1}} &= \frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}}{(2x+1)-(2x-1)} \\[2mm] &= \tfrac{1}{2}(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}) \end{align*} }

より

　　{ \displaystyle \begin{align*} f(x) &= \tfrac{1}{2}(4x + \sqrt{4x^2-1})(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}) \\ &= \tfrac{1}{2}\{4x + \sqrt{(2x+1)(2x-1)}\}(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2x-1}) \\ &= \tfrac{1}{2}\{4x\sqrt{2x+1} - 4x\sqrt{2x-1} + (2x+1)\sqrt{2x-1} - (2x-1)\sqrt{2x+1}\} \\ &= \tfrac{1}{2}\{(2x+1)^{3/2} - (2x-1)^{3/2}\} \end{align*} }

よって

　　{ \displaystyle \begin{align*} \sum_{k=1}^{60} f(x) &= \tfrac{1}{2}\{(3^{3/2} - 1^{3/2}) + (5^{3/2} - 3^{3/2}) + (7^{3/2} - 5^{3/2}) + \cdots + (121^{3/2} - 119^{3/2})\} \\ &= \tfrac{1}{2}(121^{3/2} - 1^{3/2}) \\ &= \tfrac{1}{2}(11^3 - 1) \\ &= \tfrac{1}{2}(1331 - 1) \\ &= 665 \end{align*} }