3次元の点と平面の距離の公式を導く　～ちょっと解析学使っちゃうよ編～

前回、ガリガリと計算して3次元での点と平面の距離の公式を導きましたが、まぁ、数学界でいうエレファントな解法って感じでした。　今回はちょっと高校数学の範囲をはみ出した解法をやってみます（目次）。　まぁ、ちょっと偏微分使うだけで、結局は力ずくなんですけどね。

問題設定

今回は、以前のベクトルを用いた導出とは異なり、点から平面に下ろした垂線の長さが（最小）距離を与えるという前提は置きません。　ということで、問題設定は「3次元空間において、原点と平面 ${ ax + by + cz + d = 0 }$ との距離

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \end{align*} }$

を拘束条件

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} ax + by + cz + d = 0 \end{align*} }$

のもとで最小化する」となります。　拘束条件のある場合の極値問題はラグランジュの未定乗数法 (method of Lagrange multiplier) を使うのが定石ですが、それは次回に。　今回は拘束条件を使って変数を1つ消去して、通常の拘束条件がない極値問題として解きます。

また、距離として平方根が入っている式は計算が面倒になるので

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} c^2(x^2 + y^2 + z^2) \end{align*} }$

から拘束条件によって z を消去した以下の関数の極値を考えることにします：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} f(x,\,y) &= c^2 (x^2 + y^2 + z^2) \\ &= c^2x^2 + c^2y^2 +c^2z^2 \\ &= c^2x^2 + c^2y^2 + (ax + by + d)^2 \\ &= (a^2 + c^2)x^2 + 2abxy + (b^2 + c^2)y^2 + 2adx + 2bdy + d^2 \end{align*} }$

${ f(x,\,y) }$ の定義を改めて書くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} f(x,\,y) = (a^2 + c^2)x^2 + 2abxy + (b^2 + c^2)y^2 + 2adx + 2bdy + d^2 \end{align*} }$

です。　 ${ x,\,y }$ を変数としてこれを最小化します。

極値をとる座標

まず、 ${ f(x,\,y) }$ が極値をとる ${ x,\,y }$ の値を求めましょう。　 ${ f(x,\,y) }$ を ${ x,\,y }$ それぞれで微分して

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2(a^2 + c^2)x + 2aby + 2ad \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= 2abx + 2(b^2 + c^2)y + 2bd \end{align*} }$

よって、x, y 方向に同時に極値をとるのは、以下の連立方程式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \begin{cases} (a^2 + c^2)x + aby + ad &= 0 \\ abx + (b^2 + c^2)y + bd &= 0 \end{cases} \end{align*} }$

を解けば求まります。　これを解くと

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x &= - \frac{ad}{a^2 + b^2 + c^2} & y &= - \frac{bd}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*} }$

を得ます。　ちなみに

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= 2(a^2 + c^2) > 0 & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= 2(b^2 + c^2) > 0 \end{align*} }$

より、 ${ x,\,y }$ どちらの方向にも極小値（かつ最小値）をとることが分かります。

${ z }$ の値と距離

上記のとき、 ${ z }$ の値は拘束条件より

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} z = - \frac{cd}{a^2 + b^2 + c^2} \end{align*} }$

このとき、

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} &= \sqrt{\frac{(a^2 + b^2 + c^2)d^2}{(a^2 + b^2 + c^2)^2}} \\ &= \frac{\left|d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{align*} }$