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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

2.10 原子核の崩壊 : 問題 2.7 単一核種の崩壊 b

今回は問題 2.7 の続き。 放射性原子核を扱う場合、崩壊定数 { \lambda } よりも半減期 { T_{1/2} } の方がよく使われるので、こちらを元にしたコードに書き換える問題です。

問題

a. プログラム cool を修正し、原子核崩壊で使われる表記に直せ。 そして、{ \lambda = 1 } について、 { t = 1 }{ t = 2 } のときの { N(t) / N(0) } の解析解の値とオイラー法の差を計算せよ。 さらに、それぞれの { t } の値では、その差が { \Delta t } に比例することを示せ。

b. 放射性崩壊の割合は、{ \lambda } ではなく半減期 { T_{1/2} } 程度の大きさを単位として与えると都合がよい。 半減期は最初の原子核の半数が崩壊する時間であり、

  { \displaystyle
\begin{align*}
    T_{1/2} = \frac{\log 2}{\lambda} \qquad \cdots(*)
\end{align*}
}

で与えられる。 修正したプログラムでこの関係を確かめよ。

  { \displaystyle
\begin{align*}
    {}^{238}\textrm{U} \; \longrightarrow\; {}^{234}\textrm{Th}
\end{align*}
}

半減期{ 4.5 \times 10^9} 年なら崩壊定数はいくらか。

c. 半減期を単位として時間を測るようにプログラムを書き換えよ。 そのプログラムで 100μg の [\tex:{ {}^{238}U }] が最初の量の20%に減少する時間を求めよ。

d. プログラムを2次のアルゴリズムに書き換えて、設問 a と c をもう一度行え。

半減期を崩壊定数で表す (*) 式はこちらで導いています。

b. 半減期をシミュレーションで求める

まずは前回に書いた、崩壊定数を用いたシミュレーション・スクリプトを変更して半減期 { T_{1/2} } を求めてみます。 このためには、核数 N の値が、初期値(サンプル・コードでは N0 = 1.0d)の半分(サンプル・コードでは N_end = N0*0.5d = 0.5d)になるまで反復を繰り返します。

@GrabResolver('https://github.com/waman/groops-core/tree/master/repo')
@Grab('org.waman.groops:groops-core:0.2-beta')

import org.waman.groops.builder.SimulationBuilder
import org.waman.groops.simulation.system.*
import java.awt.Color
import static java.lang.Math.*

def N0 = 1.0d, N_end = N0*0.5d
def lambda = 1.0d

new SimulationBuilder().simulation{
    system(new RadioactiveDecaySystem(), dt:0.001, lambda:lambda)
    init(t:0.0, N:N0)

    continueWhile{ it.N > N_end }
    console(outputTiming:FINAL)
    png(fileName:'problem2_7b.png', overwrite:true){
        chart(title:'Problem 2.7 b', domainLabel:'t', rangeLabel:'N/N(0)'){
            dot(label:'Simulation', x:'t', y:'N')
            marker(label:'N / N0 = 1/2', y:0.5d, paint:Color.BLUE)
            marker(label:'T_1/2', x:log(2.0d)/lambda, paint:Color.GREEN)
        }
    }
}.simulate()

class RadioactiveDecaySystem extends AnnotationObservableSystem{

    @State BigDecimal t
    @State double N

    @Parameter BigDecimal dt
    @Parameter double lambda

    @Override
    void evolve(Map<String, Object> params) {
        N -= lambda * N * dt.doubleValue()
        t += dt
    }
}
  • problem2_7b.groovy 直
  • 物理系 RadioactiveDecaySystem は前回と同じです。
  • 時間間隔 dt は 0.001 としています。

この結果、核数 N が半分になるまでにかかった時間は 0.693 でした。 dt が 0.001 なので精度は小数第3位まで。 途中の核数も合わせてチャートに出力すると以下のようになります:


青の横線が核数 0.5 の線で、N の値がこの線の下に落ちるまで反復が繰り返されます。 緑の縦線は (*) 式から計算した半減期の値です:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    T_{1/2} = \frac{\log 2}{\lambda} = 0.6931\dots
\end{align*}
}

赤い線(シミュレーション・データ)が青い線(N = 0.5)と交わる点で、緑の線半減期の理論値)とも交わっていることが分かります。 よって、半減期と崩壊定数の関係を表す (*) 式がシミュレーションで確かめられました。

 { {}^{238}U } の崩壊定数

(*) 式を { \lambda } について解くと

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lambda = \frac{\log 2}{T_{1/2}}
\end{align*}
}

よって、半減期 { 4.5 \times 10^9 } 年なら、崩壊定数 { \lambda }

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \lambda = \frac{\log 2}{4.5 \times 10^9} \sim 1.5 \times 10^{-10}
\end{align*}
}

となり、 { 1.5 \times 10^{-10} } /年  { \fallingdotseq 4.9 \times 10^{-18} } /秒 となります。 こんな値をシミュレーションで使うわけにもいかないのでどうしようか?というのが次の設問です。

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