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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

放射性崩壊の基本法則 : 単一核種

放射性崩壊の基本法

放射性原子核が崩壊の際に従う法則は、「ある時刻に崩壊する原子核の割合は、その時に存在する原子核の数に比例する」というものです。

放射性原子核が多数ある場合、その数を連続的な変数として扱って*1崩壊の法則を微分方程式で表すことができます。 時刻 t での原子核の個数を N(t) とすると、N(t) は以下の微分方程式に従います:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \frac{dN}{dt} = -\lambda N
\end{align*}
}

ここで { \lambda }崩壊定数 (decay constant) で、核種によって決まっています。 

単一核種の場合の解析解

核種が1種類の場合、上記の方程式は「ニュートンの冷却の法則」や「RC 回路」の従う微分方程式と等価なので同じようにして解けて、初期条件 { N(0) = N_0 } のもとでは

  { \displaystyle
\begin{align*}
    N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}
\end{align*}
}

となります。

崩壊定数と半減期

放射性崩壊の特徴的な時間は、通常半減期 (Half-life)で与えられます。 この半減期

  { \displaystyle
\begin{align*}
    N(t) = N_0 \,2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}
\end{align*}
}

を満たす { T_{1/2} } で定義されます。 上記の解析解の表式より

  { \displaystyle
\begin{align*}
    N(t) = N_0\left(2^{\frac{1}{\log 2}}\right)^{-\lambda t} = N_0 \, 2^{-\frac{\lambda}{\log 2}t}
\end{align*}
}

なので、半減期は崩壊定数 λ によって

  { \displaystyle
\begin{align*}
    T_{1/2} = \frac{\log 2}{\lambda}
\end{align*}
}

と与えられます(底を明示していない対数は全て自然対数です)。

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*1:ある時刻での個数を基準にとって、その個数に対する割合を連続的な変数として扱うと言った方が正確かな。