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倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

RC 回路

電子回路 運動方程式を解こう!

RC 回路は

  • 電源 (電源電圧 { V }
  • 抵抗 (電気抵抗 { R }
  • コンデンサ (電気容量 { C }

からなります(下図参照)。


また、この回路の状態を規定する変数は

です。

微分方程式

コンデンサに蓄えられている電荷{ Q } のとき、

  • コンデンサにかかる電圧は { \frac{Q}{C} }
  • 回路に流れている電流は { \frac{dQ}{dt} } になるので、抵抗の電圧降下(かかる電圧)は { R\frac{dQ}{dt} }

よって各素子に加わる電圧の関係は

  { \displaystyle
\begin{align*}
    V = \frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt}
\end{align*}
}

となります。 これを少し変形すると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    R\frac{dQ}{dt} = V -\frac{Q}{C}
\end{align*}
}

が得られます。

解析解

RC 回路のしたがう微分方程式「ニュートンの冷却の法則」の微分方程式と等価なので、解析解も同様に求めることができて、初期条件 { Q(0)=0 } のもとでは

  { \displaystyle
\begin{align*}
    Q(t) = CV\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)
\end{align*}
}

となります。 ちなみに、初期条件 { Q(0) = Q_0 } のもとでは

  { \displaystyle
\begin{align*}
    Q(t) = CV + (Q_0 - CV)\,e^{-\frac{t}{RC}}
\end{align*}
}

です。

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