2次方程式の解の公式を導く

2次方程式の解の公式は中学くらいで学習する公式で、高校数学でもよく使いますが、意外とその導出を自分の手でした人は少ないんじゃないでしょうか？　ってことで、ちょっと実際にやってみます。

2次方程式の解の公式とは

2次方程式の解の公式とは、 ${ a (\ne 0),\,b,\,c }$ を定数として以下の2次方程式

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} ax^2 + bx + c = 0 \end{align*} }$

の解を ${ a,\,b,\,c }$ を用いて表した公式です：
　　 ${ x }$ = ( ${ a,\,b,\,c }$ の式)

導出

まずは、 ${ x^2 }$ の係数を1にしておきましょう：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{align*} }$

次は平方完成を行います：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} & \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0 \\ & \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \end{align*} }$

よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \end{align*} }$

ここで

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|} = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} & (a>0) \\[2mm] -\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} & (a<0) \end{cases} \end{align*} }$

ですが、 ${ \pm }$ の複号があるのでこれらをまとめて書けて

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} }$

とできます。　よって

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} }$

これを ${ x }$ について解けば、以下の2次方程式の解の公式が得られます：

　　 ${ \displaystyle \begin{align*} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{align*} }$

「 ${ a < 0 }$ の場合には複号のお陰で ${ a > 0 }$ の場合と同じように書ける」というのは寡聞にして聞いたことがありませんが、これって書くまでもないことなのかなぁ？　テストだと△ってとこですけど。　まぁ、あまり細かいところをつついても、数学嫌いな人が増えるだけですけどね。