倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ!

高校数学で ζ(1) = ∞ を示す

{ \zeta (1) }

{ \zeta(x) } をリーマンのゼータ関数として、{ \zeta (1) }

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \zeta(1) = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}
\end{align*}
}

で与えられます。

積分による級数の評価

いろいろ証明の仕方はあるかと思いますが、ここでは数学IIIでよくやる「積分による級数の評価」(正式名称なんだっけ?)を使います。

関数

  { \displaystyle
\begin{align*}
    y = \frac{1}{x}
\end{align*}
}

のグラフとそれに付随する四角の区間の面積を考えて(下図参照)




以下の不等式が得られます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} > \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{dx}{x} = \int_1^{n+1} \frac{dx}{x}
\end{align*}
}

ここで最右辺の積分を計算すると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \int_1^{n+1} \frac{dx}{x}
        &= \left[\log x\right]_1^{n+1} \\[2mm]
        &= \log (n+1)
\end{align*}
}

となります。 この式で { n \rightarrow \infty } の極限をとると

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} > \lim_{n\rightarrow\infty}\log(n+1) =  \infty
\end{align*}
}

よって以下の関係を得ます:

  { \displaystyle
\begin{align*}
    \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \infty
\end{align*}
}

上の導出の仕方から、発散の仕方が対数だということも分かりますね。

素数に憑かれた人たち ~リーマン予想への挑戦~

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