倭算数理研究所

科学・数学・学習関連の記事を、「倭マン日記」とは別に書いていくのだ！

一定の力が働いているときの運動

古典力学 1次元 1粒子系

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は一定の力が働いている質点の運動方程式を解きます。　これは等加速度運動で、高校物理でも出てきますね。　一定の力が働いているときのニュートンの運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2x}{dt^2} &= F_0 & \cdots (*) \end{align*}}$

となります。　ただし ${ F_0 }$ は定数。　例えば、地表近くの重力は ${ F_0 = -mg }$ （鉛直上向きを座標の正とした場合）となります。

運動方程式を解く

運動方程式 (*) の両辺を ${ m }$ で割って ${ a = \frac{F_0}{m} }$ とおくと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2x}{dt^2} = a \end{align*}}$

となります。

積分実行

両辺を ${ t }$ で積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dx}{dt} = at + C_1 \end{align*}}$

${ C_1 }$ は積分定数です。　さらに ${ t }$ で積分すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = \frac{1}{2}at^2 + C_1t + C_2 \end{align*}}$

${ C_2 }$ は積分定数。

初期条件を課す

初期条件として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(0) &= x_0, & \frac{dx}{dt}(0) &= v_0 \end{align*}}$

を課すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} C_2 &= x_0, & C_1 &= v_0 \end{align*}}$

となるので、結局

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \end{align*}}$

となります。　位置 ${ x(t) }$ の時間微分で与えられる速度 ${ v(t) }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v(t) = v_0 + at \end{align*}}$

${ a = \frac{F_0}{m} }$ でした。

力学的エネルギーの保存

時間に依らず一定の力は、以下のポテンシャル

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} U(x) = - F_0 x \end{align*}}$

を持つ保存力です。　よって、以下で定義される力学的エネルギー ${ h(x,\,v) }$ は時間に依らず一定になります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} h(x,\,v) = \frac{1}{2}mv^2 - F_0 x \end{align*}}$

参考文献