古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。 この系のニュートンの運動方程式は
となります。 外力は複素数になってますが、運動方程式が線形微分方程式なので必要なら後で実部をとれば OK です。
運動方程式を解く
運動方程式の整理
まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。
ただし
変数変換
次は、適当な変数変換を行って解きやすい微分方程式に変換しましょう。
によって を導入すると
より、 の微分方程式 (1) は以下のような
の微分方程式に変換できます:
よって のとき
とおけば、 についての微分方程式は
となります。
積分実行
ただし、 は積分定数。 よって
初期条件を課す
(3) 式に初期条件
を課すと
よって
第2項、第3項は外力のない調和振動子の解となってますね。 時間で微分すると が求まって
こちらも、第2項、第3項は外力のない調和振動子の解です。 まとめると
となります。 ただし
です。
共鳴
を得ます。
参考文献

ニュートン力学からはじめる アインシュタインの相対性理論 (KS物理専門書)
- 作者: 林光男
- 出版社/メーカー: 講談社
- 発売日: 2010/09/28
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