調和振動子の強制振動 - 倭算数理研究所

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は周期的な外力が働いている調和振動子を考えます。　この系のニュートンの運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2x}{dt^2} &= -kx + F_0 \,e^{i\omega t} & \cdots (*) \end{align*}}$

となります。　外力は複素数になってますが、運動方程式が線形微分方程式なので必要なら後で実部をとれば OK です。

運動方程式を解く

運動方程式の整理

まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2x}{dt^2} &= -\omega_0^2\, x + f\,e^{i\omega t} & \cdots(1) \end{align*}}$

ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}}, & f = \frac{F_0}{m} \end{align*}}$

変数変換

次は、適当な変数変換を行って解きやすい微分方程式に変換しましょう。　 ${ B }$ を定数として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = \xi(t) + B\,e^{i\omega t} \end{align*}}$

によって ${ \xi(t) }$ を導入すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d^2\xi}{dt^2} - B\omega^2\,e^{i\omega t} \end{align*}}$

より、 ${ x(t) }$ の微分方程式 (1) は以下のような ${ \xi(t) }$ の微分方程式に変換できます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2\xi}{dt^2} - B\omega^2\,e^{i\omega t} &= -\omega_0^2\left(\xi + B\,e^{i\omega t}\right) + f\,e^{i\omega t} \\ \frac{d^2\xi}{dt^2} &= -\omega_0^2 \xi + \left\{B(\omega^2 - \omega_0^2) + f \right\}\,e^{i\omega t} \end{align*}}$

よって ${ \omega \ne \omega_0 }$ のとき

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} B = \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align*}}$

とおけば、 ${ \xi(t) }$ についての微分方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{d^2\xi}{dt^2} &= -\omega_0^2 \xi & \cdots (2) \end{align*}}$

となります。

積分実行

${ \xi(t) }$ についての微分方程式 (2) は通常の調和振動子に対する微分方程式なので、以前の結果を用いると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \xi(t) = C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t} \end{align*}}$

ただし、 ${ C_1,\,C_2 }$ は積分定数。　よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= \xi(t) + \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} \\ &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t} &\cdots(3) \end{align*}}$

初期条件を課す

(3) 式に初期条件

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(0) = x_0,\quad \frac{dx}{dt}(0) = v_0 \end{align*}}$

を課すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} C_1 + C_2 &= x_0 - \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2} \\ C_1 - C_2 &= \frac{1}{i\omega_0}\left(v_0 - \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right) \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + C_1\,e^{i\omega_0 t} + C_2\,e^{-i\omega_0 t} \\ &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + (C_1 + C_2)\cos \omega_0 t + i(C_1 - C_2)\sin \omega_0 t \\ &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\,e^{i\omega t} + \left(x_0 - \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)\cos \omega_0 t + \frac{1}{\omega_0}\left(v_0 - \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\right)\sin \omega_0 t \\ &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2} \left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t - \frac{i\omega}{\omega_0}\sin\omega_0 t\right) + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t \end{align*}}$

第2項、第3項は外力のない調和振動子の解となってますね。　時間で微分すると ${ v(t) }$ が求まって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v(t) &= \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t - \frac{i\omega_0}{\omega}\sin \omega_0 t\right) + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t \end{align*}}$

こちらも、第2項、第3項は外力のない調和振動子の解です。　まとめると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= \frac{f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t - \frac{i\omega}{\omega_0}\sin\omega_0 t\right) + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ v(t) &= \frac{i\omega f}{\omega_0^2 - \omega^2}\left(e^{i\omega t} - \cos\omega_0 t - \frac{i\omega_0}{\omega}\sin \omega_0 t\right) + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t \end{align*}}$

となります。　ただし

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \omega_0 &= \sqrt{\frac{k}{m}}, & f &= \frac{F_0}{m} \end{align*}}$

です。

共鳴

${ \omega \longrightarrow \omega_0 }$ の極限では

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= \frac{f}{2i\omega_0}\left(t\,e^{i\omega_0 t} - \frac{\sin\omega_0 t}{\omega_0}\right) + x_0 \cos \omega_0 t + \frac{v_0}{\omega_0}\sin \omega_0 t \\ v(t) &= \frac{f}{2}\left(t\,e^{i\omega_0 t} + \frac{\sin\omega_0 t}{\omega_0}\right) + v_0\cos \omega_0 t - x_0\omega_0\sin\omega_0 t \end{align*}}$