古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ(目次)。 今回は、2次元において中心力ポテンシャル中で運動する質点の描く軌跡を求める方法を見ていきます。
『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~』で、中心力ポテンシャル中で運動する質点の座標 を時間の関数として求める一般的な方法を見ましたが、この方法で具体的な問題を解こうとすると、積分を実行したり結果を
や
について解いたりするのが大変、もしくは初等関数で書けないという場合がよくあります*1。 ただし、そういった場合でも方程式から時間を消去して、質点が描く軌跡を求めることができます。
この記事の内容
参考
積分
『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~』より、動径
の微分方程式を
について解くと
これと の微分方程式から
を消去すると
両辺を積分して
となります。 ここで は積分定数です。 ポテンシャル
の具体的な形を与えて右辺の
積分を実行すると、
を
で表した軌道の方程式が得られます。
別の形
場合によっては、
より、上記の積分は
となります。
境界条件
『中心力ポテンシャル中での質点の運動方程式 ~2次元~』で書いたように(【追記】した)、質点が回帰点にいるときに
となります。 変数 を使う場合は
より、やはり 微分が0になればいいことが分かります。 両方の場合の条件を書き下しておくと
となります。
軌跡の微分方程式
ポテンシャルの具体的な関数形が分かれば、上記の積分を実行して軌跡の方程式が求まり、それで問題終了なんですが、ここでは
の方は前節のものと違う形ですが、少し変形すれば同じ形できます。 さて、
の運動方程式から、時間微分を偏角微分で表すことができます:
これを使って、 の運動方程式の時間微分を偏角微分に書き換えると
となります。 微分を含む項がちょっと込み入っていますが、次の恒等式
に注意して、変数 を
によって導入すると、上記の微分方程式の左辺は
のように簡単な形にまとまります。 また、
微分を
で書き換えると
となるので、結局、上記の微分方程式は
となります。 まぁ、これを解けば前節の積分( で表したもの)になるだけなんですが。
今回は中心力ポテンシャルが働く質点の運動から時間を消去して軌跡の方程式を求めました。 具体的なポテンシャルについての結果は後日やる予定。
修正

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