速度に比例する空気抵抗を受ける落下

古典力学のいろいろな系で運動方程式を解いていくシリーズ（目次）。　今回は速度に比例する空気抵抗の場合に運動方程式を解いてみます。　直感的に、空気による抵抗力は速度の（単調増加）関数として書き表されるはずですが、通常は統計力学的なモデルから導くのではなく、関数形を適当に仮定して、現象に合うようにパラメータを調整します。　この空気抵抗は ストークス (Stokes) の抵抗法則と呼ばれます。

鉛直下向きを座標の正の向きにとりましょう。　空気によって速度に比例する抵抗力を受ける質点の落下の運動方程式は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} m\frac{d^2x}{dt^2} &= mg - k\frac{dx}{dt} & \cdots (*) \end{align*}}$

となります。　ただし

${ g }$ : 重力加速度
${ k }$ : 空気抵抗を特徴づける定数

です。

運動方程式を解く

運動方程式の整理

まずは運動方程式 (*) を整理しましょう。　速度 ${ v(t) = x'(t) }$ を用いて書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &m\frac{dv}{dt} = mg - kv \\ \therefore \; &\frac{dv}{dt} = - \frac{k}{m}\left(v - \frac{mg}{k}\right) & \cdots (1) \end{align*}}$

となります。

終端速度 ${ v_\infty }$

(1) 式は「ニュートンの冷却の法則」に出てきた微分方程式と同型なので同じ方法でそのまま解けますが、終端速度 ${ v_\infty }$ というものを用いてもう少し式を整理しておきましょう。

今、質点が ${ x }$ の正の方向（鉛直下向き）に運動しているとしましょう。　この方向には一定の重力がかかっているので、重力によってこの質点の速度はだんだん大きくなっていきます。　このとき空気抵抗による抵抗力は x の負の方向に大きくなり、いずれある速度で重力と抵抗力がつり合う速度に達します。　この速度になると、慣性の法則より質点は等速直線運動を行うようになります。　この速度を終端速度 (terminal velocity) といいます。　終端速度を ${ v_\infty }$ とすると、力の釣り合いの式より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} mg = kv_\infty \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v_\infty = \frac{mg}{k} \end{align*}}$

となることがわかります。　この ${ v_\infty }$ を使って (1) 式を書き換えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \frac{dv}{dt} &= - \frac{k}{m}(v - v_\infty) & \cdots (2) \end{align*}}$

微分方程式の積分

(2) 式は「ニュートンの冷却の法則」に出てきた微分方程式と

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v(t) &\longleftrightarrow T(t) \\ \frac{k}{m} &\longleftrightarrow r \\ v_\infty &\longleftrightarrow T_s \end{align*}}$

の対応で関係しています。　よって同じ解法で解けて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} v(t) = v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right)\;e^{-\frac{k}{m}t} \end{align*}}$

となります。　ただし ${ v(0) = v_0 }$ （定数）という初期条件を課しました。　さらに時間で積分すると ${ x(t) }$ が求まって、 ${ x(0) = x_0 }$ という初期条件を課すと

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) = x_0 + v_\infty t + \frac{m}{k}\left(v_0 - v_\infty\right)\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right) \end{align*}}$

となります。　結果を整理すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} x(t) &= x_0 + v_\infty t + \frac{v_0 - v_\infty}{\lambda}\left(1-e^{-\lambda t}\right) \\[4mm] v(t) &= v_\infty + \left(v_0 - v_\infty\right)\;e^{-\lambda t} \end{align*}}$