『Quantum Computing: A Gentle Introduction』の演習問題を解く A.1

Quantum Computing: A Gentle Introduction (Scientific and Engineering Computation) (English Edition)

作者: Eleanor G. Rieffel,Wolfgang H. Polak
出版社/メーカー: The MIT Press
発売日: 2011/03/04
メディア: Kindle版
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Exercise A.1. Show that an independent joint distribution is the tensor product of its marginals.

${ A,\,B }$ を有限集合とし、 ${ a \in A,\,b \in B }$ とします。

結合分布の独立 ${ A \times B }$ 上の結合分布（joint distribution 同時分布） ${ \mu(a,\,b) }$ が独立である (independent, uncorrelated) とは、それぞれ ${ A,\,B }$ 上の確率分布である2つの関数 ${ f,\,g }$ ( ${ f \in \textbf{R}^A,\,g \in \textbf{R}^B }$ ) が存在して ${ \mu = f \otimes g }$ 、もしくは

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu(a,\,b) = (f \otimes g)(a,\,b) = f(a)g(b) \end{align*}}$

と書けることです。　 ${ f,\,g }$ はそれぞれ ${ A,\,B }$ 上の確率分布なので

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \sum_{a \in A}f(a) = 1 \qquad \sum_{b \in B} g(b) = 1 \end{align*}}$

を満たします。

周辺分布 結合分布 ${ \mu(a,\,b) }$ の周辺分布 (marginal distribution) は以下で定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu_A(a) = \sum_{b \in B} \mu(a,\,b) \qquad \mu_B(b) = \sum_{a \in A} \mu(a,\,b) \end{align*}}$

特に ${ \mu(a,\,b) }$ が独立な場合（関数 ${ f,\,g }$ を上記で定義された関数として）、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mu_A(a) &= \sum_{b \in B} \mu(a,\,b) \\ &= \sum_{b \in B} f(a)g(b) \\ &= f(a) \sum_{b \in B} g(b) \\ &= f(a) \\[2mm] \mu_B(b) &= g(b) \end{align*}}$