ベクトルの公式あれこれ～大学編～

大学の理系学部初期に線型代数や物理数学で出てくるベクトルの公式をいくつか紹介 & 証明

参考

『理論電磁気学』
『齋藤正彦線型代数学』

準備

ここでは3次元のベクトルのみを扱い太字で書きます。　成分を書き下す場合は縦ベクトルとして書きます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{align*}}$

ベクトルの成分を参照する場合はベクトルを角括弧 [] で囲んで添字を下付けします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [\textbf{a}]_i = a_i \end{align*}}$

${ \delta_{ij} }$ をクロネッカーデルタ、 ${ \varepsilon_{ijk} }$ を完全反対称シンボルとし、繰り返された添字については和をとるとします（アインシュタイン規約）。　2つの完全反対称シンボルの添字1つずつ縮約すると以下の公式を満たします：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} = \delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell} \end{align*}}$

また、2つのベクトルの内積（ ${ \cdot }$ による）と外積（ ${ \times }$ による）を以下のように定義します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textbf{a}\cdot\textbf{b} &= a_ib_i \\ &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ \textbf{a}^2 &= a_ia_i = |\textbf{a}|^2 \\[2mm] \textbf{a}\times\textbf{b} &= \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} \qquad [\textbf{a}\times\textbf{b}]_i = \varepsilon_{ijk}a_jb_k \end{align*}}$

さて、これらを踏まえてベクトルが満たすいくつかの公式を証明していきましょう。　成分の表式を直接使って証明した方が簡単なものもありますが、あえて添字を抽象化して計算しているものもあります。

成分の2次

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &(\textbf{a} + \textbf{b}) \times (\textbf{a} - \textbf{b}) = 2 \textbf{b}\times\textbf{a} = - 2 \textbf{a}\times\textbf{b} \\ &(\textbf{a} - \textbf{b}) \times (\textbf{b} - \textbf{c}) = \textbf{a}\times\textbf{b} + \textbf{b}\times\textbf{c} + \textbf{c}\times\textbf{a} \\ \end{align*}}$

1つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [(\textbf{a} + \textbf{b}) \times (\textbf{a} - \textbf{b})]_i &= \varepsilon_{ijk}(a_j + b_j)(a_k - b_k) \\ &= \varepsilon_{ijk}(a_ja_k - a_jb_k + b_ja_k + b_jb_k ) \\ &= -\varepsilon_{ijk}a_jb_k - \varepsilon_{ikj}a_kb_j \\ &= [-2\textbf{a}\times\textbf{b}]_i = [2\textbf{b}\times\textbf{a}]_i \end{align*}}$

2つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [(\textbf{a} - \textbf{b}) \times (\textbf{b} - \textbf{c})]_i &= \varepsilon_{ijk}(a_j - b_j)(b_k - c_k) \\ &= \varepsilon_{ijk}(a_jb_k - b_jb_k - a_jc_k + b_jc_k ) \\ &= \varepsilon_{ijk}(a_jb_k - a_jc_k + b_jc_k) \\ &= [\textbf{a}\times\textbf{b} + \textbf{b}\times\textbf{c} + \textbf{c}\times\textbf{a} ]_i \end{align*}}$

成分の3次

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a} \times \textbf{b}) \cdot \textbf{c} &= (\textbf{b} \times \textbf{c}) \cdot \textbf{a} = (\textbf{c} \times \textbf{a}) \cdot \textbf{b} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &(\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c} = - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b} \\ & (\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c} +(\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a} +(\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} = \textbf{o} \end{align*}}$

1つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a} \times \textbf{b}) \cdot \textbf{c} &= \varepsilon_{ijk}a_jb_kc_i \\ &= \varepsilon_{jki}a_jb_kc_i \\ &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \end{align*}}$

他の式は同様に導けるので略。

2つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [(\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c}]_i &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{j\ell m}a_\ell b_m c_k \\ &= ( - \delta_{i\ell}\delta_{km} + \delta_{im}\delta_{k\ell})a_\ell b_m c_k \\ &= - a_i b_kc_k + a_k b_i c_k \\ &= [ - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b}]_i \end{align*}}$

3つ目

2つ目の式で ${ \textbf{a},\,\textbf{b},\,\textbf{c} }$ をサイクリックに入れ替えて、

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c} &= - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})\textbf{a} + (\textbf{a}\cdot\textbf{c})\textbf{b} \\ (\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a} &= - (\textbf{c}\cdot\textbf{a})\textbf{b} + (\textbf{b}\cdot\textbf{a})\textbf{c} \\ (\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} &= - (\textbf{a}\cdot\textbf{b})\textbf{c} + (\textbf{c}\cdot\textbf{b})\textbf{a} \end{align*}}$

辺々をそれぞれ加えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a} \times \textbf{b}) \times \textbf{c} +(\textbf{b} \times \textbf{c}) \times \textbf{a} +(\textbf{c} \times \textbf{a}) \times \textbf{b} = \textbf{o} \end{align*}}$

成分の4次

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &(\textbf{a}\times\textbf{b})^2 + (\textbf{a}\cdot\textbf{b})^2 = (\textbf{a}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{b}) \\ &(\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) \\ &(\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d}) + (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d}) + (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = 0 \end{align*}}$

1つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a}\times\textbf{b})^2 + (\textbf{a}\cdot\textbf{b})^2 &= (\varepsilon_{ijk}a_jb_k)^2 + (a_ib_i)^2 \\ &= \varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{i\ell m}a_\ell b_m + (a_ib_i)^2 \\ &= (\delta_{j\ell}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{k\ell})a_jb_ka_\ell b_m - (a_ib_i)^2 \\ &= a_jb_ka_jb_k - a_jb_ka_kb_j - a_ib_ia_jb_j \\ &= a_jb_ka_jb_k \\ &= (\textbf{a}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{b}) \end{align*}}$

2つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) &= \varepsilon_{ijk}a_jb_k\varepsilon_{i\ell m}c_\ell d_m \\ &= (\delta_{j\ell}\delta_{km} - \delta_{jm}\delta_{k\ell})a_jb_kc_\ell d_m \\ &= a_jb_kc_jd_k - a_jb_kc_kd_j \\ &= (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) \end{align*}}$

3つ目

2つ目の式で ${ \textbf{a},\,\textbf{b},\,\textbf{c} }$ をサイクリックに入れ替えて

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = (\textbf{a}\cdot\textbf{c})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{b}\cdot\textbf{c})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) \\ (\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d}) = (\textbf{b}\cdot\textbf{a})(\textbf{c}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{c}\cdot\textbf{a})(\textbf{b}\cdot\textbf{d}) \\ (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d}) = (\textbf{c}\cdot\textbf{b})(\textbf{a}\cdot\textbf{d}) - (\textbf{a}\cdot\textbf{b})(\textbf{c}\cdot\textbf{d}) \\ \end{align*}}$

辺々をそれぞれ加えると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} (\textbf{b}\times\textbf{c}) \cdot (\textbf{a}\times\textbf{d}) + (\textbf{c}\times\textbf{a}) \cdot (\textbf{b}\times\textbf{d}) + (\textbf{a}\times\textbf{b}) \cdot (\textbf{c}\times\textbf{d}) = 0 \end{align*}}$