ベクトル解析の公式あれこれ～微分編～

前回のベクトルの公式に続いて、今回はベクトル解析（ベクトルを微分・積分する）の公式をいくつか紹介 & 証明。　今回扱うのは微分のみ。

参考

『理論電磁気学』
『解析入門 (2) 基礎数学 3』

準備

${ f,\,g }$ をスカラー場とし、 ${ \textbf{A},\,\textbf{B} }$ をベクトル場とする。　その他の記法や公式はこちらを参照。　また、微分演算子 ${ \nabla }$ （ナブラ）を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \nabla &\equiv \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3} \end{pmatrix} & \partial_i &= [\nabla]_i = \frac{\partial}{\partial x_i} \end{align*}}$

で定義します。　また、スカラー場 ${ f }$ , ベクトル場 ${ \textbf{A} }$ に対して ${ \textrm{grad}\,f,\,\textrm{div}\,\textbf{A},\,\textrm{rot}\,\textbf{A} }$ を以下で定義します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [\textrm{grad}\,f]_i &\equiv \partial_i f \qquad \textrm{grad} f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f}{\partial x_3} \end{pmatrix} \\[4mm] \textrm{div}\,\textbf{A} &\equiv \nabla \cdot \textbf{A} \\ &= \partial_i A_i = \frac{\partial A_1}{\partial x_1} + \frac{\partial A_2}{\partial x_2} + \frac{\partial A_3}{\partial x_3} \\[4mm] \textrm{rot}\,\textbf{A} &\equiv \nabla \times \textbf{A} \\ &= \varepsilon_{ijk}\partial_jA_k = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_3}{\partial x_2} - \frac{\partial A_2}{\partial x_3} \\ \frac{\partial A_1}{\partial x_3} - \frac{\partial A_3}{\partial x_1} \\ \frac{\partial A_2}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_2} \end{pmatrix} \end{align*}}$

1階微分

スカラー場の積の微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{grad}(fg) &= g\,\textrm{grad}\,f + f\,\textrm{grad}\,g \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [\textrm{grad}(fg)]_i &= \partial_i (fg) \\ &= (\partial_i f) g + f (\partial_i g) \\ &= [g\,\textrm{grad}\,f + f\,\textrm{grad}\,g]_i \end{align*}}$

スカラー場とベクトル場の積の微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{div}(f\textbf{A}) &= (\textrm{grad}f)\cdot \textbf{A} + f \, \textrm{div}\,\textrm{A} \\ \textrm{rot}(f\textbf{A}) &= (\textrm{grad}\,f) \times \textrm{A} + f\,\textrm{rot}\,\textbf{A} \end{align*}}$

1つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{div}(f\textbf{A}) &= \partial_i (fA_i) \\ &= (\partial_i f)A_i + f\partial_i A_i \\ &= (\textrm{grad}f)\cdot \textbf{A} + f \, \textrm{div}\,\textrm{A} \end{align*}}$

2つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [\textrm{rot}(f\textbf{A})]_i &= \varepsilon_{ijk}\partial_j (fA_k) \\ &= \varepsilon_{ijk}(\partial_j f)A_k + \varepsilon_{ijk}f\partial_jA_k \\ &= [(\textrm{grad}\,f) \times \textbf{A} + f\,\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i \end{align*}}$

ベクトル場の積の微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{grad}(\textbf{A}\cdot\textbf{B}) &= (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} + \textbf{A}\times\textrm{rot}\,\textbf{B} + \textbf{B}\times\textrm{rot}\,\textbf{A} \\ \textrm{div}(\textbf{A}\times\textbf{B}) &= \textbf{B}\cdot\textrm{rot}\,\textbf{A} - \textbf{A}\cdot\textrm{rot}\,\textbf{B} \\ \textrm{rot}(\textbf{A}\times\textbf{B}) &= \textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B}) - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} \end{align*}}$

1つ目

右辺を変形して左辺になることを示します：
　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &[(\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} + \textbf{A}\times\textrm{rot}\,\textbf{B} + \textbf{B}\times\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i \\ &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i + \varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell B_m + \varepsilon_{ijk}B_j\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell A_m \\ &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i + \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}(A_j\partial_\ell B_m + B_j\partial_\ell A_m) \\ &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i + (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})(A_j\partial_\ell B_m + B_j\partial_\ell A_m) \\ &\quad= A_j\partial_jB_i + B_j\partial_jA_i + A_j\partial_i B_j + B_j\partial_i A_j - A_j\partial_j B_i - B_j\partial_j A_i \\ &\quad= A_j\partial_i B_j + B_j\partial_i A_j \\ &\quad= \partial_i(A_jB_j) \\ &\quad= [\textrm{grad}(\textbf{A}\cdot\textbf{B})]_i \end{align*}}$

2つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{div}(\textbf{A}\times\textbf{B}) &= \partial_i(\varepsilon_{ijk}A_jB_k) \\ &= \varepsilon_{ijk}(\partial_i A_j)B_k + \varepsilon_{ijk}A_j \partial_i B_k \\ &= B_k \varepsilon_{kij}(\partial_i A_j) - A_j \varepsilon_{jik}\partial_i B_k \\ &= \textbf{B} \cdot \textrm{rot}\,\textbf{A} - \textbf{A}\cdot \textrm{rot}\,\textbf{B} \end{align*}}$

3つ目

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [\textrm{rot}(\textbf{A}\times\textbf{B})]_i &= \varepsilon_{ijk}\partial_j(\varepsilon_{k\ell m}A_\ell B_m) \\ &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}\partial_j(A_\ell B_m) \\ &= (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})\left\{(\partial_j A_\ell) B_m + A_\ell \partial_j B_m\right\} \\ &= (\partial_j A_i) B_j + A_i \partial_j B_j - (\partial_j A_j) B_i - A_j \partial_j B_i \\ &= [(\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} + \textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B}) - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} ]_i \\ &= [\textbf{A}\,(\textrm{div}\,\textbf{B}) - \textbf{B}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) + (\textbf{B}\cdot\textrm{grad})\textbf{A} - (\textbf{A}\cdot\textrm{grad})\textbf{B} ]_i \end{align*}}$

2階微分

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \textrm{rot}\,\textrm{rot}\,\textbf{A} &= \textrm{grad}\,(\textrm{div}\,\textbf{A}) - \triangle\,\textbf{A} \end{align*}}$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [ \textrm{rot}\,\textrm{rot}\,\textbf{A}]_i &= \varepsilon_{ijk}\partial_j (\varepsilon_{k\ell m}\partial_\ell A_m) \\ &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} \partial_j \partial_\ell A_m \\ &= (\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell})\partial_j\partial_\ell A_m \\ &= \partial_j\partial_i A_j - \partial_j\partial_j A_i \\ &= [\textrm{grad}(\textrm{div}\,\textbf{A}) - \triangle \textbf{A}]_i \end{align*}}$