量子力学的調和振動子と生成・消滅演算子

座標演算子と運動量演算子の交換関係から始めて、生成・消滅演算子、個数演算子、個数演算子の固有状態などを簡単に見ていきます。　交換関係の計算には「角運動量演算子の交換関係」の記事で導いた交換関係の公式（反可換性、分配法則、ライプニッツ則）なども使っています。

【この記事の内容】

座標・運動量演算子とハミルトニアン
生成・消滅演算子
個数演算子
個数演算子の固有状態
まとめ

座標・運動量演算子とハミルトニアン

エルミートな演算子である座標演算子 ${ x }$ と運動量演算子 ${ p }$ は交換関係

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[x,\,p\right] = i \end{align*}}$

を満たします。　また、調和振動子のハミルトニアン ${ \mathcal{H} }$ は、系の単位を適当にとってパラメータを変数に含めれば以下のように表すことができます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H} = \frac{1}{2}\left(p^2 + x^2\right) \end{align*}}$

生成・消滅演算子 ${ a^\dagger,\,a }$

座標演算子と運動量演算子から、生成演算子、消滅演算子を定義します。　これらはエルミートではなくなりますが、互いにエルミート共役の関係にあります。

定義

消滅演算子 (annihilation operator, destruction operator) ${ a }$ とそのエルミート共役として定義される生成演算子 (createion operator) ${ a^\dagger }$ は、座標・運動量演算子を用いて以下のように定義されます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a\; &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + ip\right) \\[2mm] a^\dagger &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x - ip\right) \end{align*}}$

交換関係

なぜそのような名前になっているかはおいておいて、これらの演算子の交換関係を計算してみましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} [a,\,a^\dagger] &= \frac{1}{2}[x + ip,\,x - ip] \\ &= \frac{1}{2}\left(-i[x,\,p] + i[p,\,x] \right) \\ &= 1 \end{align*}}$

座標・運動量演算子の交換関係とは事なり、生成・消滅演算子間の交換関係は実数の1となります。　生成演算子同士、消滅演算子同士の交換関係は、自分自身との交換関係なので、当然0となります。

ハミルトニアン

ハミルトニアンを生成・消滅演算子を使って表しましょう。　実数 ${ x,\,y }$ に対する公式 ${ (x-iy)(x+iy) = x^2 + y^2 }$ を思い浮かべれば、ハミルトニアンは ${ a^\dagger a }$ で表されそうですが、生成・消滅演算子が交換しないために余分の項が出てきます。　 ${ a^\dagger a }$ を計算すると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a^\dagger a &= \frac{1}{2}\left(x - ip\right)\left(x + ip\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(x^2 + ixp - ipx + p^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(x^2 + i\left[x,\,p\right] + p^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(x^2 + p^2\right) - \frac{1}{2} \end{align*}}$

よって

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H} = \frac{1}{2}a^\dagger a + \frac{1}{2} \end{align*}}$

となります。　ちなみに

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \hat{a} \hat{a}^\dagger &= \frac{1}{2}\left(x^2 + p^2\right) + \frac{1}{2} \end{align*}}$

より

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H} = \frac{1}{2}\left(a^\dagger a + aa^\dagger\right) \end{align*}}$

とも書けますが、あまり使われないかと思います。

個数演算子 ${ N }$

生成・消滅演算子を使って、個数演算子を定義します。　これは定数項を除いてハミルトニアンそのものです。

定義

個数演算子（数演算子 number operator） ${ N }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N = a^\dagger a \end{align*}}$

で定義されます。

ハミルトニアンとの関係

ハミルトニアンは個数演算子を使って以下のように書けます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H} = N + \frac{1}{2} \end{align*}}$

また、計算の必要も無く、個数演算子はハミルトニアンと交換することが分かります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[N,\,\mathcal{H}\right] = 0 \end{align*}}$

つまり、個数演算子とハミルトニアンは同時対角化可能ということですね。　後ほど、個数演算子と生成・消滅演算子を使ってハミルトニアンの固有状態を構成します。

生成・消滅演算子との交換関係

個数演算子と生成・消滅演算子との交換関係を計算しておきましょう：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[N,\,a\right] &= \left[a^\dagger a,\,a\right] \\ &= \left[a^\dagger,\,a\right]a \\ &= -a \end{align*}}$

同様にして

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \left[N,\,a^\dagger\right] &= \left[a^\dagger a,\,a^\dagger\right] \\ &= a^\dagger \left[a,\,a^\dagger\right] \\ &= a^\dagger \end{align*}}$

交換関係の定義より、これらは以下のような関係を導きます：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} Na &= a(N-1) \\ Na^\dagger &= a^\dagger(N+1) \end{align*}}$

これらの関係は個数演算子（とハミルトニアン）の固有状態を作る際に使います。

個数演算子の固有状態 ${ |n\rangle }$

生成・消滅演算子を使って個数演算子固有状態を作ることで、ハミルトニアンの固有状態、つまりエネルギー固有状態を構築します。

基底状態 ${ |0\rangle }$

消滅演算子によって消される状態 ${ |0\rangle }$ が存在すると仮定します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a|0\rangle = 0 \end{align*}}$

この状態は規格化されているとします（ ${ \langle 0|0\rangle = 1 }$ ）。　この状態に個数演算子 ${ N = a^\dagger a }$ を作用させると当然消えるので、状態 ${ |0\rangle }$ は個数演算子 ${ N }$ の固有値0に属する固有状態となります（なので状態のラベルに0を使ってました）。　また、ハミルトニアン ${ \mathcal{H} = N + \frac{1}{2} }$ を作用させると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H}|0\rangle = \frac{1}{2}|0\rangle \end{align*}}$

となり、この状態はエネルギー ${ \frac{1}{2} }$ のエネルギー固有状態であることも分かります。

第1励起状態 ${ |1\rangle }$

${ c_1 }$ を規格化定数として、状態 ${ |1\rangle }$ を

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |1\rangle = c_1a^\dagger|0\rangle \end{align*}}$

と定義します。　この状態に個数演算子 ${ N }$ を作用させると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N|1\rangle &= c_1 Na^\dagger |0\rangle \\ &= c_1 a^\dagger(N+1)|0\rangle \qquad(\because Na^\dagger = a^\dagger (N+1)) \\ &= c_1 a^\dagger|0\rangle \\ &= |1\rangle \end{align*}}$

よって ${ |1\rangle }$ は個数演算子の固有値1に属する固有状態であることが分かります。　また、ハミルトニアンを作用させると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H}|1\rangle &= \frac{3}{2}|1\rangle \end{align*}}$

となり、 ${ |1\rangle }$ はエネルギー ${ \frac{3}{2} }$ のエネルギー固有状態です。　規格化定数 ${ c_1 }$ の値も求めておきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle 1|1\rangle &= |c_1|^2\langle 0|aa^\dagger|0\rangle \\ &= |c_1|^2\langle 0|\left(a^\dagger a + 1\right)|0\rangle \\ &= |c_1|^2 \end{align*}}$

よって ${ c_1 = 1 }$ となります。　したがって、状態 ${ |1\rangle }$ は最終的に以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |1\rangle = a^\dagger|0\rangle \end{align*}}$

一般の固有状態 ${ |n\rangle }$

${ |1\rangle }$ の場合を参考にして、状態 ${ |n\rangle }$ を以下のように帰納的に定義します：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |n\rangle = c_na^\dagger|n-1\rangle \end{align*}}$

ここで ${ c_n }$ は規格化定数です。　状態 ${ |n-1\rangle }$ は

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N|n-1 \rangle = (n-1)|n-1\rangle \end{align*}}$

を満たすと仮定し、 ${ |n\rangle }$ が ${ N|n\rangle = n|n\rangle }$ を満たすことを示しましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} N|n\rangle &= c_n Na^\dagger |n-1\rangle \\ &= c_n a^\dagger(N+1)|n-1\rangle \qquad(\because Na^\dagger = a^\dagger (N+1)) \\ &= c_1 n a^\dagger|n-1\rangle \\ &= n|n\rangle \end{align*}}$

よって、確かに ${ |n\rangle }$ は個数演算子の固有値 ${ n }$ に属する固有状態であることが分かりました。　また

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \mathcal{H}|n\rangle &= \left(n+\frac{1}{2}\right)|1\rangle \end{align*}}$

より、状態 ${ |n\rangle }$ はエネルギーが ${ n+\frac{1}{2} }$ のエネルギー固有状態であることも分かります。　これより、調和振動子のエネルギーは ${ \frac{1}{2} }$ の項を除いて個数演算子の固有値で決まり、1（元の単位系では ${ \hbar\omega }$ ）を単位とした個数で指定されます。　 ${ \hbar\omega = h\nu }$ は（調和振動子の）エネルギー量子 (energy quantum) と呼ばれます*1。　余分な項 ${ \frac{1}{2} }$ は零点エネルギー (zero-point energy) と呼ばれます。　

状態 ${ |n-1\rangle }$ が規格化されているとして、定義にある規格化定数 ${ c_n }$ を定めておきましょう。

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle n|n\rangle &= |c_n|^2\langle n-1|aa^\dagger|n-1\rangle \\ &= |c_1|^2\langle n-1|\left(a^\dagger a + 1\right)|n-1\rangle \\ &= |c_1|^2\langle n-1|\left(N + 1\right)|n-1\rangle \\ &= |c_1|^2n \end{align*}}$

よって ${ c_n= \frac{1}{\sqrt{n}} }$ と定めれば ${ |n\rangle }$ は規格化されることがわかります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}}a^\dagger|n-1\rangle \end{align*}}$

この帰納的な定義を繰り返し使って、状態 ${ |n\rangle }$ は状態 ${ |0\rangle }$ と生成演算子で表すと以下のようになります：

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |n\rangle &= \frac{1}{\sqrt{n}}a^\dagger|n-1\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}\left(a^\dagger\right)^2|n-2\rangle \\ &\vdots \\ &= \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger\right)^n|0\rangle \end{align*}}$

固有状態についてもう少し

状態 ${ |n\rangle }$ に消滅演算子を作用させると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a|n\rangle &= \frac{1}{\sqrt{n}}aa^\dagger|n-1\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{n}}\left(a^\dagger a + 1\right)|n-1\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{n}}\left(N + 1\right)|n-1\rangle \\ &= \frac{n}{\sqrt{n}}|n-1\rangle \\ &= \sqrt{n}|n-1\rangle \end{align*}}$

となります。　よって、状態 ${ |n\rangle }$ に生成・消滅演算子を作用させると

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a^\dagger|n\rangle &= \sqrt{n+1}\;|n+1\rangle \\ a|n\rangle \; &= \sqrt{n}\;|n-1\rangle \end{align*}}$

となり、生成演算子は ${ n }$ が1つ大きい状態を、消滅演算子は ${ n }$ が1つ小さい状態を作ります。　つまり、エネルギー量子を生成もしくは消滅させます。この意味で ${ a^\dagger,\,a }$ を生成・消滅演算子と呼びます。　また、 ${ |0\rangle }$ は消滅演算子によって消されるので、それ以上エネルギーが低い状態がない基底状態 (ground state) となります。

状態 ${ |n\rangle }$ は ${ n }$ の値が異なれば互いに直交することを示しておきましょう。　 ${ m > n }$ として

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} \langle m|n\rangle &= \tfrac{1}{\sqrt{m!}}\langle 0| a^m|n\rangle \qquad \left(\because |m\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{m!}}\left(a^\dagger\right)^m|0\rangle\right) \\ &= \sqrt{\tfrac{n!}{m!}}\langle 0| a^{m-n}|0\rangle \qquad \left(\because (a)^n|n\rangle = \sqrt{n!}\;|0\rangle\right)\\ &= 0 \end{align*}}$

まとめ

生成・消滅演算子

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a\; &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x + ip\right) \\[2mm] a^\dagger &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(x - ip\right) \qquad & [a,\,a^\dagger] = 1 \end{align*}}$

個数演算子とハミルトニアン

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} &N = a^\dagger a \\[2mm] &[N,\,a^\dagger] = a^\dagger \\ &[N,\,a] = -a \\[2mm] &\mathcal{H} = N+\frac{1}{2} = a^\dagger a + \frac{1}{2} \end{align*}}$

基底状態 ${ |0\rangle }$

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} a|0\rangle &= 0 \\[2mm] \mathcal{H}|0\rangle &= \frac{1}{2}|0\rangle \qquad \Big(N|0\rangle = 0|0\rangle\Big) \end{align*}}$

エネルギー固有状態

　　 ${ \displaystyle\begin{align*} |n\rangle &= \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger\right)^n|0\rangle \\[2mm] \mathcal{H}|n\rangle &= \left(n+\frac{1}{2}\right)|n\rangle \qquad \Big(N|n\rangle = n|n \rangle\Big) \\[4mm] \langle m|n\rangle &= \delta_{mn} \\[4mm] a^\dagger|n\rangle &= \sqrt{n+1}\;|n+1\rangle \\ a|n\rangle \; &= \sqrt{n}\;|n-1\rangle \end{align*}}$